中考数学二轮培优重难点突破讲练专题49 与角有关的等腰三角形的存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．在等边中，D为上一点，E为上一点，过B作，连接，，且．
(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由．
(3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值．
2．已知是锐角三角形，且，点，分别是边，上一点，点是和的交点．
(1)如图1，若，且，，，求的长；
(2)如图2，若，且，过点作，且，线段与相交于点，点是的中点，连接，求证：．
3．在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，若点在线段上（不与，点重合），求证：；
(3)如图2，若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
4．如图，是等边三角形．

(1)点P是边上一动点．
①当点P移动到中点时，延长至E，使，连接．求证：；
②在点P运动过程中，以为边在上方作等边，连接，当时，求的取值范围；
(2)是的高，记长为a，动点M在上运动，在上方以为边作等边，在点M运动过程中，求点N所经过的路径长．
5．如图1，在中，，，点O为两外角，的平分线的交点，连接，．
(1)求证；
(2)如图2，点M在线段上，点N为射线上一点，且满足．
求的周长；
如图3，若，且点为，的平分线的交点，线段上是否存在一点G，使得与的周长相等？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
6．在等边三角形ABC中，，点D是BC边上的一点，点P是AB边上的一点，连接PD，以PD为边作等边三角形PDE，连接BE．
(1)如图1，当点P与点A重合时，求证：．
(2)如图2，若，请计算的值．
7．已知和均为等腰三角形，，点E在上，点F在射线上．
(1)如图1，若，点与点重合，求证：；
(2)如图2，若，求证：．
(3)若，在（2）的条件下，点E为的中点，P为所在直线上一动点，当取得最大值时，请直接写出的长．
8．如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
(1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由；
(2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ．
9．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H．
(1)求的度数．
(2)如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形．
②求的值．
(3)如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式．
10．如图，在中，，，射线于点D．

(1)如图1，求的度数；
(2)若点E，F分别是射线，边上的动点，，连接，．
①如图2，连接，当时，求的度数；
②如图3，当最小时，求证：．
11．【基础巩固】
（1）如图1，在中，D，E，F分别为，，上的点，，，交于点G，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若，平分，，求的长．
12．如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的布洛卡点，同时称为的布洛卡角．布洛卡点的发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．
(1)如图2，P为等边三角形的布洛卡点，求的布洛卡角的度数；
(2)如图3，在中，，P是内部一点，且，．
①求证：P为的布洛卡点；
②若，延长交于点D，求证：D是中点．
13．如图，等腰直角中，，，点在直线上运动，连结，将线段绕点逆时针方向旋转得线段，连结，．
(1)【基础巩固】求证：；
(2)【尝试应用】如图1，当点在线段上时，若，求的面积；
(3)【拓展思考】如图2，当点在线段的延长线上时，设与的交点为，若的面积为，分别求线段和的长．
14．在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
15．如图①，，以的顶点为顶点作正，延长边与的边交于点，在边上截取一点，使得，并连结．
(1)求证：；
(2)①将正绕顶点按顺时针旋转，使顶点落在内部，如图②，请确定，，之间的数量关系，并说明理由；
②将图②中的正绕顶点继续按顺时针旋转，使顶点落在射线下方，如图③，请确定，，之间的数量关系，不必说明理由；
(3)在(1)和(2)的条件下，若，，求BE的长．
16．如图1，在线段上取一点，如果以，为边在同一侧作正方形与正方形，连接，取的中点M，的延长线交于点N．
(1)请探究与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，使得A，C，E在同一条直线上，其余条件不变．
①填空：的度数是______，的度数是______．
②探究（1）中的结论是否成立？并说明理由．
17．已知是边长为6的等边三角形，D为中点．
(1)如图1，连接，E为线段上的一个动点，以为边长向下作等边三角形，连接，证明：．
(2)在（1）的条件下，求的最小值．
(3)如图2，G，H分别为上的动点，连接交于点I，，连接交于点J，连接并延长交于点K，，试探究的数量关系．
18．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值．
19．如图，中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，设点P运动的时间为t秒．
(1)当是以为斜边的直角三角形时，求t的值．
(2)当为等腰三角形时，求t的值．