中考数学二轮培优题型训练压轴题25几何最值问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．
2．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
3．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
4．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值．
【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，
根据对称性的性质，可知：，
在中，，
，
根据对称性的性质，可知：，
，
即，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．
5．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【答案】D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
6．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
【答案】A
【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可.
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形
∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，
∴的最小值为5
故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.
7．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
9．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
10．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标．
【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，
∵点E是BC的中点，
∴BC=6，
连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴CE∥AD，AC=，DE=，
∴△CGE∽△AGD，
∴，
∴，
∴AG=，
故点M的坐标为（，），故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值___________．
【答案】
【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．
【详解】解：∵B、G关于对称，
∴，且
∵E为中点，则为的中位线，
∴，
∴，
∵，即，
∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）
设圆心为，连接，，，，，过点作，
则，
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
又∵为中点，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键．
12．（2023春·江苏连云港·八年级期中）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接 ，根据两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接
，
，
，
四边形的周长的最小值，
正方形的边长为
，，，
，
四边形的周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
13．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 _____米．
【答案】50
【分析】作关于的对称点，连接，交于，连接，当点与重合时，的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出长，即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，
当点与重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
设与的交点为点，
四边形是菱形，
，米，米，
米，
的最小值是50米．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．
14．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．
解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明 ，在上做点，使，连接，证明 ，接着推导出，最后证明 ，即可求解．
【详解】解法1
如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，
四边形正方形
，
又 ，

在与中
，







故答案为：2．
解法2
如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，

在上做点，使，则，连接
在与中
，

，则

在上做点，使，则，连接
在与中
，

，则
如图所示连接



在与中
，，







故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．
15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，
，，，
，
，
，
，
，

，
，
四边形为等腰梯形，
，
，，，
，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
当三点共线时，有最小值，
面积的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
【答案】3
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则，由两点之间线段最短可知当、、在一条直线上时，有最小值，然后求得的长度即可．
【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当、、在一条直线上时有最小值是解题的关键．
18．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为________．

【答案】
【分析】直线与轴，轴分别交于和，可求出点，的坐标，点、分别为线段、的中点，可求出点、的坐标，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是所求点的坐标．
【详解】解：直线与轴，轴分别交于和，
∴当，，即；当，，即，
∵点、分别为线段、的中点，
∴，，
如图所示，过点关于轴的对称点，
∴，
∴直线的解析式为：，
当，，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．
19．（2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，解得或，即；当时，，即，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， ，
周长的最小值为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
20．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
三、解答题
21．（2022春·江苏·九年级专题练习）综合与探究
如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式，连接，并求出直线的解析式；
(2)请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，此时点的坐标是 ；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接，，求出面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）将，两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到，再设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入，即可求解；
（2）连接，，根据题意可得A、B关于抛物线的对称轴直线 对称，从而得到当 在直线上三点共线时，的值最小，把代入直线的解析式，即可求解；
（3）过作轴，交于，设Q，其中 ，则D，
可得，从而得到，即可求解；
【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）如图，连接，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
根据题意得：A、B关于抛物线的对称轴直线对称，
∴，
∴，即当P在直线上时，的值最小，
∴当时， ，
∴，
故答案是：；
（3）过Q作轴，交于，
设Q，其中 ，则D，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，取最大值，最大值为8，
∴的最大面积为8；
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
22．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
【答案】(1)
(2)当或时，
(3)
【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；
（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，
如图所示，点在直线上，过点作轴于，
∴设，，
∴，，，
∴，
若，则，
当时，，解得，，即；
当时，，解得，，即；
综上所述，当或时，．
（3）解：已知，设，
∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，
∴；
如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且轴，
∴是等腰直角三角形，，
则点的轨迹在射线上，
如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，
∴轴，且，
∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
23．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）
中，．
(1)如图1，若，平分交于点，且．证明：；
(2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点分别作，的垂线，垂足为，，易得，由，可得，由，求得，可证得；
（2）延长，使得，连接，，易证为等边三角形，进而可证，可得，，可知，易证得，可得，由可得结论；
（3）由题意可知是等边三角形，如图，作，且，作，且，可得，，可知，可得，由可知点，都在线段上时，有最小值，过点作，过点作交延长线于，可得，，可证，得，设由等边三角形的性质，可得，进而可得，，结合可得：，可得，由翻折可知，，可求得的值．
【详解】（1）证明：过点分别作，的垂线，垂足为，，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，则，
又∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
延长，使得，连接，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵绕点逆时针旋转至，
∴，，则，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
又∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴是等边三角形，
如图，作，且，作，且，
则，，
∴，，
则，
∴，则
∴，
∴，即：，
∴
即：点，都在线段上时，有最小值，如下图，
过点作，过点作交延长线于，
则，
，，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，设
∴，，则，
∵，
∴，则，，
则由可得：，
整理得：，得，
由翻折可知，，
∴．
【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．
(1)观察猜想
线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．
(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．
【答案】(1)是
(2)是，答案见解析
(3)
【分析】（1）根据中位线的性质以及，，可得，由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”．
（2）先证，可得，根据中位线的性质得到，，即；由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”．
（3）由（2）可知，，，故，当取最大值时，与的积有最大值．当、、三点共线，且点在之间时，取最大值．此时．最后根据已知条件，计算出最大值即可．
【详解】（1）解：线段与是“等垂线段”．
理由如下：
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即线段与是“等垂线段”，
故答案为：是．
（2）解：线段与是“等垂线段”，理由如下：
∵绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，
∴，，
∵，
∴，
即，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵，
∴．
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即
，
∴，
∴．
∵，．
故线段与是“等垂线段”．
（3）解：由（2）可知，，，
故，
当取最大值时，与的积有最大值．
∵把绕点在平面内自由旋转，
∴当、、三点共线，且点在之间时，
取最大值．
∴此时．
∵在中，，，，为的中点，
∴，
同理可得，，
∴的最大值为3，与的积有最大值．
【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知识是解题的关键．
25．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．
(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．
(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．
【答案】(1)图形见解析；
(2)，图见解析；
【分析】（1）直接画出等腰三角形的对称轴即可；
（2）将A向右平移1个单位得 ，再作关于x轴的对称点 ,连接交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点P，此时，的长度最短；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：将A向右平移1个单位得 ，再作关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点P，此时，的长度最短；
设的解析式为，将 ， 代入得：
，解得，
∴的解析式为，
当，，
解得，
∴Q点的坐标为，
∴P的坐标为．
【点睛】本题考查作图问题，等腰三角形的对称轴，线段和的最小值问题，灵活运用“将军饮马”模型是解题的关键．
26．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；
(2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；
(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案；
（2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论；
（3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示：
∵为等边三角形，，
∴，，
四边形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形ABDC的面积为，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：延长到使得，连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵A为中点，M为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵点F为等边三角形的边中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的长度为定值，
∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动，
∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置．