中考数学二轮培优核心考点讲练第14讲 三步解决最值问题之胡不归（PA+k·PB）（2份，原卷版+解析版）

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数学解读：从A点出发，AC上的速度v2＞AB和BC上的速度v1，问：当点C在什么位置上时，所用时间最短。
模型特征：点C在直线上运动（和阿氏圆对比）
解题思路：①化成BC+kAC(k＜1)
②在动点C所在直线AC的另一侧构建角α，角的一边为AM，使得sinα=k，以AC为斜边，则CE=kAC
③BC+kAC转化为BC+CD,即过B作AM的垂线BD即为所求。
【例1】1．在平面直角坐标系中，二次函数解析式为，点E坐标为，
若点为轴上任意一点，求的最小值．
【分析】
1.确定类型：求的是类似于PM+kPN的值，且动点P在x轴上运动，所以是胡不归模型。
2.确定k的值：先把题中要求的算式变换成PM+kPN (k＜1)，如PM+2PN变换成，则k的值为。
本题求的最小值，则k=。
2.从图中找出特殊角α，使得sinα=k。本题中，sin∠EAO=。
3.构造角：在动点P所在直线的另一侧，即x轴的上方构造正弦值为的角，即作点E关于x轴的对称点F，∠FAO=。作PM⊥AF，即。
4.结论：=PE+PM，当EM⊥AF时，PE+PM最小。
5.求值：利用直角三角形EFM中∠F的正弦值求EM的长。
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
2．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
二、填空题
4．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
5．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
7．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
9．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
10．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
12．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
三、解答题
15．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值．
16．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
17．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）求的最小值．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．