中考数学二轮培优核心考点讲练第13讲 最值问题（辅助圆、隐圆）的五种模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：点或线到圆上点的最值
【例1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
1．如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是( )
A．5B．6C．7D．8
4．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
模型二：动点到定点距离等于定长求最值
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
【例2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．
6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，已知中，，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，点A随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点 的直线上有两点、，且OA=OB，∠APB=90°，不经过点，则的最小值（ ）
A．2B．4C．5D．6
9．如图，在中．，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是_____________．
10．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________．
11．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
12．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．
模型三：定长对直角求最值
直径所对的圆周角是直角．
构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
图形释义：
若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．
【例3】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．
13．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，连接，线段长的最小值为______．
14．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 _____．
15．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
16．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．
17．如图，中，，，．点为内一点，且满足 ．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3B．C．D．
模型四：定长对定角求最值
若AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．
当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．
动点P在圆外时，P到圆上的最小距离
最大距离
动点P在圆内时，P到圆上的最小距离
最大距离
直线和圆相离时
圆上的点到直线的最小距离为
圆上的点到直线的最大距离为
直线和圆相交时
圆上的点到直线的最小距离为0
圆上的点到直线的最大距离为
若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
【例4】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
18．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
19．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为___________．
20．如图，在△ABC中，AC=，BC=9，∠ACB=60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为_________．
21．如图：的半径为1，弦，点P为优弧上一动点，交直线于点C，
（1）求的度数是______；（2）求的最大面积是______．
22．如图，在边长为的等边△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP长的最小值为__________．
23．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____．
24．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为_______；
②△ABC面积的最大值为_______；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．
模型五：定角定高求最值
【例5】为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。
25．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且CD=6，则△ABC的面积最小值是_______．
26．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为___，据此可得四边形ABCD面积的最大值为___．
27．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为_____．
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？