安徽省巢湖市第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间三点O(0,0,0)，A(−1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )
A. (12,−12,0)B. (−12,12,0)C. (−2,2,0)D. (2,−2,0)
2.已知公差不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比数列，则等差数列{an}的前8项和S8为( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
3.直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.平行六面体ABCD−A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，则AC′的长为( )
A. 55B. 65C. 85D. 95
5.直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆x−32+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A. 6,12B. 6 2,12 2
C. 12,20D. 12 2,20 2
6.已知点A(−1,2)关于直线l:x+y−2=0的对称点为B，设直线m经过点B，则当点C(3,0)到直线m的距离最大时，直线m的方程为( )
A. x−y−3=0B. x−y+3=0
C. x+y+3=0D. x+y−3=0
7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若椭圆C1的离心率e1=​22，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 62B. ​72C. 1+​2D. 3
8.数列an满足a1=0，a2=1，an=2+an−2,n⩾3,n为奇数,2×an−2,n⩾3,n为偶数,则数列an的前10项和为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线l1:x+ay+1=0，l2:a−1x+y+a=0，则下列说法正确的是( )
A. 当a=1时，直线l1的倾斜角为135° B. 当l1⊥l2时，a=12
C. 若l1//l2，则a=−1 D. 直线l1始终过定点(−1,0)
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，PE=ED，BF=FC，则( )
A. BE=12AP−AB+12AD
B. |BE|=6
C. EF//平面PAB
D. 异面直线BE与PA夹角的余弦值为 66
11.已知F1，F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2a22−y2b22=1(a2>b2>0)的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则以下结论正确的是( )
A. a12−b12=a22+b22B. b12=3b22
C. 14e12+14e22=1D. e12+e22的最小值为1+ 32
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知F是抛物线C：x2=12y的焦点，P是C上一点，直线FP交直线y=−3于点Q.若PQ=2FP，则|PQ|=________．
13.数列{an}满足a1=2，an+1=2(n+2)n+1an(n∈N∗)，则a2017a1+a2+⋯+a2016=________．
14.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： Q(0,−3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.设该直线的斜率为k，若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则k2=________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2).
(1)若(a+kb)//(2a+b)，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
16.(本小题15分)
以坐标原点为圆心的圆C被直线y=x+1截得的弦长为 14．
(1)求过点M( 3,−1)的圆C的切线方程；
(2)若直线ax+y−a+1=0(a∈R)与圆C交于A,B两点(其中O为坐标原点)，求AO⋅AB的最小值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD= CD= 4，AD=2．
(1)求证：MN//平面PCD；
(2)求AP与平面CMB所成角的正弦值；(3)求二面角M−CB−P的余弦值．
18.(本小题17分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M、N两点，求▵AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19.(本小题17分)
设数列{an}的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们称满足条件“对任意的m ,n∈N∗，均有(n−m)Sn+m=(n+m)(Sn−Sm)”的数列{an}为“好”数列．
(1)试分别判断数列{an}，{bn}是否为“好”数列，其中an=2n−1，bn=2n−1，n∈N∗，并给出证明；
(2)已知数列{cn}为“好”数列．
①若c2019=2020，求数列{cn}的通项公式；
②若c1=p，且对任意给定正整数p ,s(s>1)，有c1 ,cs ,ct成等比数列，求证：t≥s2．