安徽省巢湖市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021-2022学年（上）巢湖市高一年级期末阶段性测试

数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，若，则实数（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.

【详解】集合，，所以，

①当时，集合，此时，成立；

②当时，集合，此时，不满足题意，排除.

故选：B.

2. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.

【详解】“”成立时，，故“”成立，

即“”是“”的充分条件；

“”成立时，或，此时推不出“”成立，

故“”不是“”的必要条件，

故选：A.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得，然后求得所求表达式的值.

【详解】依题意，即，.

.

故选：C

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.

【详解】的定义域为，

，

所以奇函数，由此排除CD选项.

，排除A选项.

故选：B

5. 已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.

【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l，

因为圆心角为，所以.

因为扇形的周长是6，所以，解得：.

所以扇形的面积是.

故选：B

6. 英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，设物体的初始温度为，环境温度为，其中，经过后物体温度满足（其中k为正常数，与物体和空气的接触状况有关）.现有一个的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，则（    ）（参考数据：）

A. 1.17 B. 0.85 C. 0.65 D. 0.23

【答案】D

【解析】

【分析】根据所给公式，将所给条件中的温度相应代入，利用对数的运算求解即可.

【详解】根据题意：的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，

有： ，

所以 ，故 ，

即 ，

故选：D.

7. 已知函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过解不等式来求得的取值范围.

【详解】依题意，

即：或，

即：或，

解得或.

所以的取值范围是.

故选：D

8. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】当时，令，则，可得，

设，其中，任取、，

则.

当时，，则，即，

所以，函数在上为减函数；

当时，，则，即，

所以，函数在上为增函数.

所以，，，，则，

故函数在上的值域为，

所以，，解得.

故选：A.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，若，则实数a的值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简已知条件，由此求得的值.

【详解】的定义域为，

，所以为偶函数，

递增，在递减.

由于，所以

或，

解得或.

故选：CD

10. 下列选项中图象变换，能得到函数的图象的是（    ）

A. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度

B. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度

C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的

D. 先将图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角函数图象变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，A选项正确.

B选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，B选项正确.

C选项，将的图象向右平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，C选项正确.

D选项，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，D选项错误.

故选：ABC

11. 下列计算结果正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可

【详解】对于A，，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，

所以C错误，

对于D，，所以D正确，

故选：BD

12. 已知，且，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】设，则，在同一直角坐标系中分别画出函数的图像，结合图像即可得出答案.

【详解】解：设，

则，

在同一直角坐标系中分别画出函数的图像，

当时，，

当时，，

当时，，

故AB正确.

故选：AB.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合 ，则集合的子集个数为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出然后直接写出子集即可.

【详解】，

，所以集合的子集有，.子集个数有2个.

故答案为：2.

14. 已知且，若，则的值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故答案为：.

15. 在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，现将点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设点A是角终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义及平方关系求出，，再利用诱导公式求出，即可得出答案.

【详解】解：设点A是角的终边与单位圆的交点，

因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为，

所以，，

因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，

所以，

所以点的横坐标为，

纵坐标为，

即点B的坐标为.

故答案为：.

16. 如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，求得矩形面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.

【详解】设，

，

，，

所以矩形的面积，

当且仅当时等号成立.

故选：

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知集合.

（1）若，求a的值；

（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，

（2）由题意可得，从而有再结合可求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

由题设知，

∵，∴

可得.

【小问2详解】

∵，∴，解得.

∵“”是“”的必要不充分条件，∴.

∴

解得.

因此，实数a的取值范围为.

18. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点.

（1）求的值；

（2）若第一象限角满足，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）可使用已知条件，表示出，然后利用诱导公式、和差公式和二倍角公式对要求解的式子进行化简，带入即可求解；

（2）可根据和的值，结合和的范围，判定出的范围，然后计算出的值，将要求的借助使用和差公式展开即可求解.

【小问1详解】

角的终边经过点，所以.

所以.

【小问2详解】

由条件可知为第一象限角.又为第一象限角，，所以为第二象限角，

由得，

由，

得

.

19. 已知函数.

（1）若且的最小值为，求不等式的解集；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；

（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，

所以，，因为，解得，

由得，即，得，

因此，不等式的解集为.

【小问2详解】

解：由得，设函数，

因为函数的图象是开口向上的抛物线，

要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，

则，可得，解得.

20. 已知函数.

（1）求的最小正周期以及对称轴方程；

（2）设函数，求在上的值域.

【答案】（1）最小正同期为，对称轴方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将化为只含有一个三角函数形式，即可求得结果；

（2）将展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.

【小问1详解】

，

所以的最小正同期为.

令，得对称轴方程为.

【小问2详解】

由题意可知，

因为，所以，

故，所以，

故在上的值域为.

21. 为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.

（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；

（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.

【答案】（1）函数模型①，函数模型②   

（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500

【解析】

【分析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；

（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.

【小问1详解】

对于函数模型①：把及相应y值代入得

解得，所以.

对于函数模型②：把及相应y值代入得

解得，所以.

【小问2详解】

对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；

对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，

所以函数模型②更合适

要使，则，

即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.

22. 已知函数.

（1）判断的奇偶性；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）若关于x的方程在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围.

【答案】（1）是偶函数   

（2）在上单调递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，判断的关系即可得出结论；

（2）任取，利用作差法整理即可得出结论；

（3）由整理得，易得的最小值为，令，设，则原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：的定义域为R，

∵，∴，

∴是偶函数；

【小问2详解】

解：在上单调递增，

证明如下：任取，

则，

∵，∴，

另一方面，∴，

∴，即，

∴在上单调递增；

【小问3详解】

由整理得，

由（1）（2）可知在上单调递减，在上单调递增，最小值为，

令，则当时，每个a的值对应两个不同的x值，

设，

原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，

∴解得，即t的取值范围是.