2024-2025学年上海市宝山区高二上册10月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市宝山区高二上册10月月考数学检测试卷（附解析），共19页。
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1. 用符号表示平面经过直线：__________.
【正确答案】
【分析】略
【详解】略
2. 若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为__________．
【正确答案】
【分析】根据圆柱侧面积公式直接计算即可．
【详解】由圆柱侧面积公式得，侧面积为，
故．
3. 已知直线，则直线与直线的位置关系有__________种（填数字）.
【正确答案】3
【分析】以正方体为例，分别指出对应的位置关系，从而得解.
【详解】如图，，此时；

，此时与异面；
，此时与相交；
而直线与直线的位置关系只有平行、异面、相交三种，
所以当直线时，直线与直线的位置关系有3种.
故3.
4. 若正方体的棱长为2，则点到直线的距离为_____
【正确答案】
【分析】根据线面垂直可得，得到点到的距离即为的长，即可求解；
【详解】在正方体中，平面，
平面，
，
点到的距离即为的长，
故
5. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为3，且弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于__________.
【正确答案】
【分析】根据侧面展开图扇形弧长可求得底面半径，并利用勾股定理求得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为，则，解得：，
圆锥的高，圆锥的体积.
故答案为.
6. 如图，在正四棱柱中，，，则三棱锥的体积为________.
【正确答案】.
【分析】
由图易得,求出代入计算即可。
【详解】三棱锥即三棱锥，在四棱柱中，，，则三棱锥的底面积为，高为3 cm，
所以.
此题考查三棱锥体积，关键是找到底面积和高代入计算即可，属于简单题目。
7. 下来命题中，真命题的编号为__________．
（1）若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线；
（2）若直线平面，则内不存在与不垂直的直线；
（3）若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线；
（4）若直线平面，则内不存在与不平行的直线．
【正确答案】（2）（3）
【分析】举例判断（1）；根据线面垂直的性质分析判断（2）；根据反证法及线面平行的判定定理分析判断（3）；举例判断（4）．
【详解】对于（1），如图，在长方体中，直线与平面斜交，，故假命题；
对于（2），若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直，
所以内不存在与不垂直的直线，故为真命题；
对于（3），若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行，这与已知条件相矛盾，故为真命题；
对于（4），如图，直线平面，，与不平行，是异面直线，故为假命题，
故（2）（3）．
8. 在正方体中，二面角的平面角大小为__________.
【正确答案】
【分析】通过分析图形找到二面角的平面角，求角的余弦值，确定角的大小.
【详解】
如图，取中点，连接，
由题意得，、、为等边三角形，
∴，，
∴为二面角的平面角.
设等边三角形边长为2，则，
∴，
∴.
故答案为.
9. 已知中，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是6，则点到平面的距离是__________.
【正确答案】
【分析】根据题意推得点在平面上的射影为的外心，进而利用正弦定理求得，再利用勾股定理即可得解.
【详解】记点在平面上的射影为，连接，

则平面，又平面，
所以，
因为，
所以由勾股定理可得，即是的外心，
在中，，，
则是正三角形，所以，
所以，所以，又，
得，即点到平面的距离为.
故答案为.
10. 一个长方体的三条棱长分别为若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化,则圆孔的半径为__________．
【正确答案】3
【详解】设圆柱形孔的的半径为，高为，则由题意知，故，显然高只能取，故填：．
11. 点是二面角内一点，于点，于点，设，，，则点到棱的距离是______.
【正确答案】##
【分析】首先利用线面垂直的性质证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后由四点共圆，结合正余弦定理即可求解.
【详解】
设平面与棱交于一点，连接，
由，，，
则，，
又，，，
则，，
又，平面，
平面，
又平面，
，因此点到棱的距离即为的长，
又在四边形中，，，
则四点共圆，且为圆的直径，
又，
则，
则，
即点到棱的距离为，
故答案为.
12. 两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为______.
【正确答案】
【分析】过点作，交于点，连接，设，，由题意证明，进而根据面面垂直的性质定理证，根据勾股定理即可得、与的数量关系，即可求得两点间的最短距离.
【详解】
过点作，交于点，连接，
设，，
因为，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
又，所以，
由，，
所以，，
所以，，
同理可得，，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
所以，是直角三角形，
所以，
，
即，
所以当，即、分别为线段、中点时，有最小值，
即、两点间的最短距离为，
故答案为.
关键点睛：本题的关键通过面面垂直的性质证明，再根据，，证明是直角三角形.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13､14题每题4分，15､16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可.
【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面；
选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面；
选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面，
则a与b有可能平行；
选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面．
故选：C．
14. 已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（ ）

A B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由斜二测画法结合三角形面积公式得出原图形的面积.
【详解】如图，根据斜二测画法画出原图形，则为直角三角形，且，，
所以.
故选：C.

15. 已知直线l、m和平面、，下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【正确答案】C
【分析】线面平行及线线垂直，线可以有无数种朝向；线面垂直，线只有一种朝向；面面平行，面只有一种朝向，逐个选项判断即可.
【详解】对A，若，，则可能有，m与相交不垂直，A错；
对B，若，，则，则可能有，l与相交不垂直，，B错；
对C，若，，则，C对；
对D，若，，由于与关系不确定，故l与m关系也不确定，D错.
故选：C
16. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）
A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个
【正确答案】D
【详解】考点：平面的基本性质及推论．
专题：数形结合；分类讨论．
分析：根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解．
解答：
解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D-ABC，
①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换低，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，
所以满足条件的平面共有7个，
故选D．
点评：本题考查了三棱锥结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力．
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17. 在直三棱柱中，.

（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先证明平面，再利用棱锥的体积公式求解即可；
（2）由异面直线所成角的定义可知即为异面直线与所成的角，然后在直角三角形中求解正切值即可得解.
【小问1详解】
由直三棱柱得，，又，，
平面，所以平面，又，
所以.
【小问2详解】
因为，所以即为异面直线与所成的角，
因为在直三棱柱中，，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，则，
所以，所以，
即异面直线与所成角的大小为.
18. 如图，在正四棱柱中，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由结合线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面，后利用面面垂直的判定定理即可求证.
【小问1详解】
因为为在正四棱柱，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又在平面，在平面外，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面为正方形，所以，
又为在正四棱柱，所以底面，
又在底面内，所以,同时是平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以平面平面
19. 如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱.
（1）已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）；
（2）要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解；
（2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解.
【小问1详解】
圆柱部分体积，
直六棱柱部分体积为，
则此零件的体积为，
又铁的密度为，
故生产一件这样的铸铁零件需要克铁.
小问2详解】
此零件的表面积为
.
则5000个零件的表面积为.
故需锌的质量为.
20. 如图，三棱锥中，侧面底面，底面是斜边为的直角三角形，且，记为的中点，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
【正确答案】（1）证明过程见解析
（2）
【分析】（1）由面面垂直性质定理证明底面，由此证明，再证明，由线面垂直判定定理证明平面，最后证明；
（2）先得出（锐角）为二面角的平面角，然后结合解三角形知识即可求解.
【小问1详解】
连接，因为，所以，
侧面垂直于底面，平面，平面平面，
所以底面，底面，所以，
是斜边为的直角三角形，且，所以，
又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，
又E为OC的中点，所以，
因为，，，，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
由（1）知底面ABC，平面，
所以直线PC与底面ABC所成角为，，
因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，
因为，所以，在中，，
所以，
取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以（锐角）为二面角的平面角，
由题意，
从而，
所以，
所以二面角的大小为.
21. 如图，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，
（1）若，斜边，点为圆锥底面圆周上的一点，且是的中点，求：直线与平面所成的角的大小（用反三角函数表示）；
（2）若圆锥底面的半径为10，母线长为60，求底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离；
（3）若圆锥的母线长为为圆锥的侧面积，为体积，求取得最大值时圆锥的体积的值.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）作出D在底面的投影，结合线面夹角的定义解直角三角形即可；
（2）将圆锥展开并翻折，利用扇形的弧长计算圆心角，解特殊三角形即可；
（3）利用圆锥的侧面积、体积公式结合基本不等式计算即可.
【小问1详解】
作出D在底面的投影E，连接，显然E为中点，
直线与平面所成的角为，
由题意可知，
所以，
所以；
【小问2详解】
沿将圆锥展开得扇形，沿翻折扇形得扇形，
易知，
由，可得，所以，
根据两点之间线段最短，知底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离为，
显然为等腰三角形，，
可得；
小问3详解】
设底面半径为r，则，
所以，
则，
当且仅当，即时取得等号，此时.