2024-2025学年吉林省通化市集安市高二上册期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省通化市集安市高二上册期中考试数学检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第二章、第三章3.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
4. 若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线与直线平行，且与椭圆交点为，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆与圆交于两点，则（为圆圆心）面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线：，：，则（ ）
A. 当时，B. 存在实数m，使得
C. 当时，D. 与直线之间的距离为
10. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）
A. 与不互斥B.
C. D. 与相互独立
11. 已知曲线，则（ ）
A. 关于轴对称B. C关于原点对称
C. 的周长为D. 直线与有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从1，2，3，4，5，7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为________．
13. 在中，，，，则点的轨迹方程为________．
14. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程；
（2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程．
16. ，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功概率.
17. 已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆截得弦长．
（2）证明：圆经过两个定点．
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，.
（1）若，求C的方程；
（2）若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长.
19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.
（2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.
（i）若，求；
（ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点.
2024-2025学年吉林省通化市集安市高二上学期期中考试数学
检测试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第二章、第三章3.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得.
【详解】由，得倾斜角为．
故选：C.
2. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.
故选：A
3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【正确答案】B
【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数.
【详解】由的短轴长为4，得，即，则，
若，则，显然矛盾；
若，则．
经验证，当时，椭圆的短轴长为4，
故选：B
4. 若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.
【详解】若方程表示一个圆，则，
方程可化，
所以1+−4b2−4>0，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D
5. 已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据两点在椭圆上，结合斜率，利用点差法可得解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为，即，
因为，都在椭圆上，
所以，，
则，
即，
所以，
所以，
故选：A.
6. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解.
【详解】由得，
所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），
直线过定点，
当直线与圆相切时，
圆心到直线的距离，
解得或（舍去），
当直线过点时，
直线斜率为，
结合图形可得实数的取值范围是.
故选：C.
7. 已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
设圆的半径为，
由于圆内切于圆，所以；
由于圆内切于圆，所以；
由于，
所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆.
则，，所以，；
所以动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：A
8. 已知圆与圆交于两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解.
【详解】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于两点可知：，
所以的面积
，
因为是半径为1的圆，所以，
当时，，又，
此时由，解得，，故AB可以取最大值2；
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，
所以，
故选：C.
关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找AB的最大值，从而确定面积的的最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线：，：，则（ ）
A. 当时，B. 存在实数m，使得
C. 当时，D. 与直线之间的距离为
【正确答案】AD
【分析】通过的取值结合垂直和平行的要求判断A，B，C；，利用平行线间的距离公式判断D.
【详解】对于A，当时，：，：，
此时，所以，故A正确；
对于B，当时，且，无解，
故不存在实数m，使得；故B错误；
对于C，当时，：，：，
此时，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为且，所以与直线平行，
距离为，故D正确，
故选：AD.
10. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）
A. 与不互斥B.
C. D. 与相互独立
【正确答案】ACD
【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可；
【详解】对于A，和可以同时发生，故A正确；
对于B，因为，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知曲线，则（ ）
A. 关于轴对称B. C关于原点对称
C. 的周长为D. 直线与有个交点
【正确答案】ABC
【分析】设点在曲线上，分别代入点与，可判断AB选项；分别确定曲线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断C选项与D选项.
详解】
设点在曲线上，即，
A选项：代入点，可知，
即点在曲线上恒成立，所以曲线关于轴对称，A选项正确；
B选项：代入点，得，
即点在曲线上恒成立，所以曲线关于原点对称，B选项正确；
C选项：当时，，当时，或，即 过，，三点，
当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；
当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第四象限的部分；
当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第二象限的部分；
当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第三象限的部分；
曲线在第一象限部分的方程为设圆心为，与轴的两个交点为，，则，
所以第一象限内图形所表示弧长，
又曲线关于轴及原点对称，所以曲线的周长为，C选项正确；
D选项：直线，过点，在曲线右半部分的内部，
所以与曲线右半部分有个交点，且直线不过坐标原点，
又直线当时，，
即过点，在曲线左半部分的内部，
所以直线与曲线左半部分有个交点，
综上所述直线与曲线有个交点，D选项错误；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从1，2，3，4，5，7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为________．
【正确答案】##
【分析】利用列举法求解，先列出从6个数任取2个数的所有情况，再列出这2个数为质数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由1，2，3，4，5，7这6个数中任取2个数构成的样本空间为：
,
所以样本空间共15个样本点，
记2个数均为质数为事件,
则，事件共包含6个样本点，
所以这2个数均为质数为事件的概率为.
故答案为.
13. 在中，，，，则点的轨迹方程为________．
【正确答案】
【分析】设点，分别表示与，化简即可.
【详解】设点，
则，，
则，
化简可得，
故答案为.
14. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________．
【正确答案】
【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可
【详解】如图，取线段的中点M，连接，
因为，，
所以，且，
所以，
设，
所以C的离心率为
，
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程；
（2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程．
【正确答案】（1）（2）或
【分析】（1）由题意设直线方程为：，代入即可求；
（2）分直线截距为0和不为0两种情况讨论即可求.
【详解】（1）设所求直线方程为：，
因为直线经过点，
所以，解得，
所以直线的一般式方程为；
（2）当直线的截距为0时，直线方程为：，
当直线的截距不为0时，由题意可设直线方程为：，
因为直线经过点，
所以，所以，
所以直线方程为：，即，
综上所述：直线方程为或.
16. ，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
【正确答案】（1），两人各自闯关成功的概率都是.
（2）
【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
【小问1详解】
记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是.
【小问2详解】
设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
17. 已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆截得的弦长．
（2）证明：圆经过两个定点．
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案；
（2）由令与联立解方程组可得答案；
（3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案．
【小问1详解】
当时，圆，
此时，圆的圆心为，半径．
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长
为；
【小问2详解】
由，得，
令，因为为常数
所以得，由
解得或，
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；
【小问3详解】
（方法一）设的中点为，
不妨设，则点的坐标为．
因为，所以，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
（方法二）不妨设，因，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，.
（1）若，求C的方程；
（2）若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出即可.
（2）令，，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，进而求出四边形周长.
【小问1详解】
由椭圆定义知，，，
由，得，
若，则为等腰直角三角形，，解得，
所以C的方程为.
【小问2详解】
若，不妨设，，则，且，
，.
由，点P在y轴上，且，
得，且，
由余弦定理得，
整理得，而，则，
同理得，
即，整理得，
令此方程二根为，则，，即有，
则， 解得，
所以四边形AF1BF2的周长为.
19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.
（2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.
（i）若，求；
（ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解；
（2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证.
小问1详解】
设Px,y，由，得.
由，得.
若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且，
所以可化为，所以，
则，故的取值范围为0,1.
【小问2详解】
由得，化简得曲线的方程为，
则的右焦点为，设Ax1,y1，Bx2,y2，
（i）联立，得，
则，且，
所以，
（ii）联立，得，
则，且，
因为点关于轴的对称点为点，所以，
则直线的方程为，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
，
当时，，
故直线过定点.