吉林省通化市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份吉林省通化市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知直线，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第二、三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为
A.B.C.D.
2.已知抛物线，则的焦点到准线的距离是
A.B.C.2D.4
3.已知椭圆的短轴长为4，则
A.2B.4C.8D.16
4.若方程表示一个圆，则的取值范围为
A.B.
C.D.
5.已知直线与抛物线相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为
A.-2B.2C.-6D.6
6.如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为
A.B.C.D.
7.已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心轨迹方程为
A.B.C.D.
8.已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为
A.B.5C.D.7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，，则
A.当时，B.存在实数，使得
C.当时，D.与直线之间的距离为
10.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是
A.若，则直线与圆相切
B.若圆上存在两点关于直线对称，则
C.若，则
D.若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是
11.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，其中点在第一象限.若动点在的准线上，则
A.的最小值为0
B.当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C.当的重心在轴上时，的面积为
D.当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.双曲线的虚轴长为_____，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为_______.
13.在中，，，，则点的轨迹方程为_______.
14.已知为椭圆上一点，，为的两个焦点，，，则的离心率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；
（2）焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为.
16.（15分）
已知是抛物线上的一点.
（1）求的焦点坐标与准线方程；
（2）若直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值.
17.（15分）
已知圆（为常数）.
（1）当时，求直线被圆截得的弦长.
（2）证明：圆经过两个定点.
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程.
18.（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，两点均在上，且，.
（1）若，求的方程；
（2）若，直线与轴交于点，且，求四边形的周长.
19.（17分）
已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）判断（2，-3）曲线为何种圆锥曲线.
（2）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？
（3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于，两个不同的点.
（i）若，求；
（ii）若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点.
2024-2025学年度上学期期中考试
高二数学试题参考答案
1.C 由，得倾斜角为.
2.B 将抛物线的方程转化为标准方程，得，则的焦点到准线的距离是.
3.B 由的短轴长为4，得，即，则，所以或，解得或.经检验，当时，椭圆的短轴长为4.
4.D 依题意可得，则，则，则，解得.
5.A 设，两点的坐标分别为，，则两式相减得.因为线段的中点坐标为，所以，所以.
6.B 依题意可得，，所以，所以该笔筒中间最窄处的直径为.
7.A 设圆的半径为，则，，则，所以点的轨迹是以，为焦点，7为长轴长的椭圆.因为，，所以，，所以动圆的圆心轨迹方程为.
8.D 由，得，所以为双曲线的右支，为该双曲线的左焦点.设右焦点为，则，所以，所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为7.
9.AD 若，则，即，A正确，C错误.若，则，即，此时，即，与重合，B错误.与直线之间的距离为，D正确.
10.BC 圆的标准方程为，圆心为，半径.
圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A不正确；
若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，
所以，得，故B正确；
若，则圆心到直线的距离，所以，故C正确；
若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接（图略），则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.
11.AC 依题意可得，直线的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，.的准线方程为，设，则，，所以，A正确.
当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，B错误.
的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得，的面积为，C正确.
当，，三点共线时，.由，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，得或，当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为，D错误.
12. ； 由，得，则，，，所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为，则所求圆的标准方程为.
13.（或）设，则，整理得.因为，，三点不能共线，所以，所以点的轨迹方程为.
14. 因为，，所以，
所以
.
15.解：（1）因为实轴长为8，离心率为，所以
解得
所以.
因为焦点在轴上，所以所求双曲线的标准方程为.
（2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为.
因为焦距为，所以，
所以.
又渐近线方程为，所以，
则，，所以所求双曲线的标准方程为.
16.解：（1）因为是抛物线上的一点，所以，
则，
所以的焦点坐标为，准线方程为.
（2）因为直线经过的焦点，所以.
联立得.
设，，则，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17.（1）解：当时，圆，
此时，圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
（2）证明：由，得，
令，得，解得或
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为.
（3）解：（方法一）设的中点为，则点的坐标为.
因为，所以，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为.
（方法二）因为，所以，
解得，
所以圆的标准方程为.
18.解：由椭圆定义可知，.
（1）由，可知，若，则为等腰直角三角形，，
解得，故的方程为.
（2）若，不妨设，则，且，
，.
因为，点在轴上，且，
所以，且.
由余弦定理可得，
整理得，因为，所以.
同理可得，
即，
整理得.
由韦达定理得，可知，
则，
解得，故四边形的周长为.
19.解：（1）设，由，得，
当时，，即，所以曲线为椭圆.
（2）由，得.
若曲线为双曲线，则，所以可化为，
所以，则，
故，应满足且，曲线为双曲线.
（3）由，，得曲线的方程为，则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.
联立得.
设，，则.
（i）若，则 .
（ii）因为点关于轴的对称点为，所以，
则直线的方程为.
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
.
当且时，
，
故直线过定点.