吉林省长春市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试——数学试题

这是一份吉林省长春市重点中学2020-2021学年高一下学期期末考试——数学试题，共12页。试卷主要包含了 在中，角的对边分别为，若，且，【详解】等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则与的夹角大小为（ ）
A．B．C．D．
4．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，已知，，，则角C为（ ）
A．B．C．或D．
6．如果从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是红球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
7.已知样本数据为，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱柱中，，，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是
A．
B．平面平面
C．和与平面所成的角相等
D．异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等
10．已知是三个平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知正方体中，以下结论错误的有（ ）
A．点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变
B．点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变
C．点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变
D．M是平面上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆柱的底面半径与高都等于2，则圆柱体积为_________．
14．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________
15．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为___________.
16．已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数的值.
18．(12分)如图，正方体中，F为与的交点，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角．
19. (12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求理科综合分数的众数和中位数；
（3）在理科综合分数为， 的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间上的概率？
20. (12分)在中，角的对边分别为，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
21．(12分)乒乓球比赛规则规定，一局比赛，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开球第3次发球时，甲比分领先的概率；
（2）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
22．(12分) 如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.
答案
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.D 11.D 12.B
13. 14.39.6 15. 16.
12 .B【详解】
因为，，且平面，平面，所以平面，所以上的点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，故A正确；由图可知，当点在直线上运动时，直线与平面所8成角和直线与平面所成角不相等，故B错误；因为平面，所以二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，所以二面角的大小不变，故C正确；因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分线所在平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是过点的直线，故D正确
16.如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，
连接，
又分别是中点，，
又，，四边形为平行四边形，
，，平面，
，平面，
又，平面平面，
又平面ABC，，分别是的中点，，
，
，，
，
在中，，，
，，
所求截面的周长为.
故答案为：.
17.解：（1）因为，，，且
，，，，.
，解得，.
（2），，，.
，，，.
，解得.
18.【详解】
（1）联结EF，
由E为的中点，F为的中点知，，
又平面，平面，
故平面
（2）在正方形ABCD中，，又平面ABCD，平面ABCD，
则，又，
故平面，又平面，
故，即异面直线与所成的角为
19.【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（3）5．
【分析】（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；
（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.
【详解】（1）因为，解得，所以直方图中的值为.
（2）理科综合分数的众数是，
∵，
∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，
则，
解得，即中位数为．
（3）
20.在中，角的对边分别为，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由正弦定理边角互化，计算求得；（2）由（1）可知是等腰三角形，根据面积公式求边长，中，再根据余弦定理求中线的长.
【解析】
（1）∵，
由正弦定理边角互化得，
由于，∴，即，得.
又，∴，∴.
（2）由（1）知，若，故，则，
∴，（舍）
又在中，，
∴，∴.
21.（1）0.36（2）0.352
22．（2021·浙江丽水市·高二月考）如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可得出，由已知可得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，由此可得出；
（2）设点在平面内的射影为点，连接，可得出为直线与平面所成角，利用等体积法计算出，可求得，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值；
（3）设与相交于，连接、，推导出，可得出平面，结合图形可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，可得，利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
（1）在平行四边形中，，，，
由余弦定理可得，，
，，，，
因为四边形为矩形，则，
，平面，
平面，所以；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
，平面平面，平面平面，平面，平面，
平面，，则，
，，平面，
平面，，，
，由勾股定理的逆定理知，，
设点在平面内的射影为，连接，
则为直线与平面所成角，，
由，可得，可得，
又，，，
因此，直线与平面所成角的余弦值为；
（3）设与相交于，连接、，
因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
且，为的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
由图可知，当点在或时，三棱锥的体积最小，
.