吉林省长春市重点中学2023-2024学年高二下学期开学测试数学试题(含答案)

这是一份吉林省长春市重点中学2023-2024学年高二下学期开学测试数学试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷客观题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
1.在的展开式中，的系数为（ ）
A.3B.6C.9D.12
2.计算的值是（ ）
A.62B.102C.152D.540
3.若随机变量，且，则（ ）
4.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，从2022年年初开始，生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高．下表是2022年前5个月我国某电池企业采购的该有色金属价格Y（单位：千元/kg）与月份X的统计数据．
若Y与X的线性回归方程为，则m的值为（ ）
A.3.8B.4.0C.4.2D.4.4
5.已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知抛物线关于轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
8.某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，下面同学提出的结论正确的有（ ）
甲：曲线都关于直线对称
乙：曲线在第一象限的点都在椭圆内
丙：曲线上的点到原点的最大距离为
A.3个B.2个C.1个D.0个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量x，y的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.设随机变量，若，则
C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D.某人解答10个问题，答对题数为，，则
10.（多选题）下列说法正确的是（ ）
A.B.是可能的
C.D.
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若M，N为上关于原点对称的两点，则（ ）
A.的标准方程为B.
C.D.四边形的周长随MN的变化而变化
12.已知，，，记.当，中含个6时，所有不同值的个数记为.下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.对于任意奇数，
D.对于任意整数，
第II卷主观题
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.直线被圆截得的弦长为_________.
14.2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_________种.
15.已知，，，则_________.
16.已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线OA与OB的斜率之积为，轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段AB上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为_________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）
17.（10分）已知，其中.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求值及二项式系数最大项；
（2）求的值（用数值作答）.
18.（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
19.（12分）在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对概率为0.6，乙同学猜对概率为0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；
（2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率；
（3）记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X，求X的期望.
20.（12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于两点，求证：.
21．（12分）在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
（1）若变量，具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求“好数据”至少有1个的概率.
参考数据：，（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为，）
22.（12分）已知抛物线（）上的点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）点在抛物线上，直线l与抛物线交于A，B两点（第一象限），过点A作轴的垂线交于点H，直线AH与直线OT、OB分别交于点M，N（O为坐标原点），且，证明：直线过定点.
长春市重点中学2023-2024学年度下学期开学测试
高二数学试题答案
参考答案：
1.D
【分析】写出每一项的表达式，即可得出的系数.
【详解】由题意，
在中，每一项为，
当即时，，
故选：D.
2.A
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
3.C
【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为随机变量，且，
则.
故选：C.
4.D
【分析】计算出，代入回归方程，求出的值.
【详解】由题意得，，
则，解得.
故选：D.
5.B
【分析】求得圆心为到直线的距离，求出弦长，计算即可得出结果.
【详解】因为圆心为到直线的距离为：，
所以=
所以，即.
故选：B
6.D
【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案.
【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，
故，解得，抛物线的标准方程为.
故选：D.
7.D
【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】如图，取线段的中点，连接，
因为，，
所以，且，
所以
，
设，则，
所以的离心率
.
故选：D
8.C
【分析】对于甲，直接举反例即可推翻，对于乙，由条件，通过比较和0的大小关系即可得解，对于丙，直接由三角换元法即可判断.
【详解】对于甲，曲线上的点关于直线的对称点不在曲线上，故甲错误；
对于乙，若，
则
，故乙正确；
对于丙，用依次分别代替曲线方程中的方程依然成立，
故曲线关于坐标轴以及坐标原点对称，
所以不妨设，，
所以，故丙错误；
综上所述，同学提出的结论正确的有1个.
故选：C.
【点睛】关键点睛：判断乙的关键是由条件，通过比较和0的大小关系即可顺利得解.
9.BD
【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出.
【详解】由题意，
A项，
两个变量的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，
故A错误，
对于B，
随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，
故B正确，
对于，
在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，
∴为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好
故C错误，
对于，
某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，
故D正确.
故选：BD.
10.BCD
【分析】ACD选项，根据条件概率公式及概率的性质判断；B选项，举出例子；
【详解】A选项，及知，A选项错误；
B选项，当事件A包含事件B时，有，此时，故B选项正确；
C选项，由概率的性质可知，C正确；
D选项，，D正确.
故选：BCD
11.ABC
【分析】对于A，利用已知求出方程即可，对于B，运用椭圆的定义结合基本不等式‘1’的代换处理即可，对于C，设出点，求斜率定值即可，对于D，运用椭圆的定义转化为定值即可.
【详解】
由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，
故C的标准方程为，显然A正确，
连接，由对称性得，
结合椭圆的定义得，
故，
当且仅当时取等，故B正确，
设，，而，故，
故，，故，故C正确，
易知四边形的周长为，为定值，故D错误.
故选：ABC
12.AC
【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可.
【详解】当，，故，A正确；
当，，，
当时，，解得，B错误；
，设，，则，
于是，C正确；
因为，构造二项分布，则，
因此，D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解.
13.6
【分析】首先求出圆心到直线的距离，再根据弦长公式计算可得.
【详解】由圆，可得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为：6.
14.80
【分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.
【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，
再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，
则不同的选法共有种.
故答案为：80.
15.
【分析】由全概率公式计算得出结果.
【详解】由，
得，解得.
故答案为：.
16./
【分析】考虑的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积为得到为的切线，考虑的斜率不存在时，也满足要求，利用椭圆定义和几何性质得到最小值，即定值.
【详解】当的斜率存在时，设为，
与联立得，
设，则，
则由题意得，化简得，①
因为x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，
所以直线为某一个椭圆的一条切线，
联立与，得，
由得，②，
比较①②得，解得，
故直线为椭圆的切线，
当直线的斜率不存在时，设，则，
由可得，，
联立可得，
此时直线的方程为，为椭圆的切线，
由椭圆定义和几何性质可知，当且仅当为切点，为的焦点时，等号成立，
故此定值为.
故答案为：
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
17.（1）
（2）3281
【分析】（1）根据题意知最大得出的值，再计算即可；
（2）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得出的值.
【详解】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
即仅有最大，所以，故.
即，二项式系数最大项为第5项：；
（2）令，得，
令，得.
两式相加可得.
18.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以由余弦定理可得，
因此有，即，
又因为底面，平面，
所以，又因为平面，
所以底面，又因为平面，
所以；
（2）以D为坐标原点，的长为单位长，射线为X轴的正半轴建立空间坐标系，
，
，
设平面PAB的法向量，则
，可取，
平面PBC的法向量，则
，可取，
设平面PAB与平面PBC所成的角为，
则.
19.（1）
（2）
（3）期望为12
【分析】（1）设出事件，得到，，利用求出结果；
（2）根据独立重复性试验求概率公式求出结果；
（3）判断出X服从二项分布，代入公式即可.
【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，，
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
；
（2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：
.
（3）甲猜对的次数为，期望为.
20.（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；
（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.
【详解】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
得，解得，
故抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
由，得，，.
，
，即直线关于x轴对称，
故.
21.（1）；
（2）.
【分析】（1）利用最小二乘法求出回归直线.
（2）根据回归直线分别计算出各个估计值，从而得到好数据的个数，利用古典概型求得结果.
【详解】（1）依题意，，，
而，于是，
，
所以所求线性回归方程为.
（2）利用（1）中所求的线性回归方程得：
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，，
与销售数据对比知满足的共有个“好数据”：，
记个销售数据中的4个“好数据”分别为，另两个数据为，
从个销售数据中任取个的试验的样本空间：
，共15个样本点，
“好数据”至少有个的事件，其对立事件，
故，
所以“好数据”至少有个的概率为.
22.（1）
（2）
【分析】（1）利用抛物线定义计算即可；
（2）设坐标及直线方程，含参表示坐标，由得出坐标的关系，联立抛物线根据韦达定理消元计算即可.
【详解】（1）由题意可知抛物线准线方程为：，则，且，
解之得，即抛物线方程为；
（2）依题意与抛物线于第一象限有两个交点，
故可设，
由（1）可知，即，所以，
则，
又，所以，
因为，故，
联立抛物线方程有，
则，显然过定点.
【点睛】思路点睛：第二问通过设点设线，由向量关系得出点的坐标关系，再联立抛物线根据韦达定理消元转化得出直线参数的关系即可.
X
1
2
3
4
5
Y
1.7
3.0
m
6.0
7.4
单价x（千元）
3
4
5
6
7
8
销量y（百件）
70
65
62
59
56
48