湖南省长沙市一中芙蓉中学2024-2025学年上学期八年级 数学期末考试（含解析）

这是一份湖南省长沙市一中芙蓉中学2024-2025学年上学期八年级 数学期末考试（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下面四个图形中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算中正确的是（）
A．B．C．D．
3．某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．已知多项式是完全平方式，则的值为（ ）
A．5B．C．9或−7D．5或
5．画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在，，，，，中，分式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．若二次根式有意义，则（ ）
A．B．C．D．
8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，若，以点A为圆心，任意长为半径面弧、交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧、交于点P，作射线交于点D，则的度数为（）
A．B．C．D．
10．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
二、填空题（本大题共6小题）
11．点关于x轴的对称点的坐标是 ．
12．如果，，那么 ．
13．一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ．
14．对代数式进行因式分解，结果是 ．
15．若，则的值为 ．
16．如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点，则下列结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线、、距离相等的点有个．正确的有 ．（只填写序号）
三、解答题（本大题共8小题）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
21．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
22．如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、．
(1)点B的坐标为 ；
(2)若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同．
(1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
24．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．
(1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
(2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘方法则逐项判定即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
В．，原计算错误，不符合题意；
C．原计算正确，符合题意；
D．原计算错误，不符合题意；
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故此题答案为A．
4．【答案】D
【分析】根据完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：多项式是完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故此题答案为D ．
5．【答案】D
【分析根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可．
【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示：
故此题答案为D．
6．【答案】B
【分析】分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可．
【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式．
故此题答案为B．
7．【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴是最简二次根式，
故此题答案为A．
9．【答案】C
【分析】先求出，再求出，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知：平分，
，
故此题答案为C
10．【答案】C
【分析】去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围．
【详解】解：，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
解得：，
∵该方程的解是负数，
∴，
解得：，
∵是该方程的增根，
∴时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述：a的取值范围是：且．
故此题答案为C．
11．【答案】
【分析】直接根据关于x轴对称点的特点解答即可．
【详解】解：A点关于x轴对称的点的坐标是
12．【答案】
【分析】利用同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，
．
13．【答案】7
【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可．
【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得：
，
解得
14．【答案】
【分析】利用完全平方公式即可直接得出答案．
【详解】解：
15．【答案】
【分析】把已知等式代入之后化简即可．
【详解】解：，
16．【答案】①②③
【分析】根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解．
【详解】解：在中，若，则，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，故①正确；
如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图所示，过点作于点，连接，
∵平分，，
∴，
∵
，故③正确；
∵，
∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等，
如图所示，作外角的角平分线，交于点P1，
∴由角平分线的性质定理可得，
同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等，
∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误；
综上所述，正确的有①②③
17．【答案】
【分析】先化简二次根式及绝对值，并计算负整数指数幂和零指数幂，然后再计算加减即可．
【详解】解：
．
18．【答案】；14．
【分析】根据题意，先对原式利用完全平方式及整式的乘法进行去括号，再合并同类项进行化简，最后将x与y的值代入计算即可得解.
【详解】解：
；
将代入得
原式．
19．【答案】，3
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
20．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，由定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得，由平行线的性质定理易得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】(1)是，
(2)①－3x－6；②1
(3)6或22
【分析】（1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可；
（2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可．
（3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得．
【详解】（1）解：，，
，
与互为“关联分式”， “关联值”；
（2）解：①，，
，
与互为“关联分式”，且“关联值” ，
，
，
②，
分式的值为正整数．
或，此时的值为1或，
为正整数，
的值为1．
（3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”，
∴
∵
∴
∴
∴
∵a，b为整数
∴当时，
当时，则
∵a，b为整数
∴，或，，
∴．
综上，c的值为6或22．
22．【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得；
（2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得；
（3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为1,0
（2）解：如图1，设与交于点，
∵，，
∵，，，
∴，
∵点关于对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：存在，求解过程如下：
∵点在轴上，
∴分以下两种情况：
①当点在轴的正半轴上时，
如图2，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
②当点在轴的负半轴上时，
如图3，过点作轴于点，
同理可证：，，
∴，
∴点的坐标为．
综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或．
23．【答案】(1)品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元
(2)品牌垃圾桶最多买10个
【分析】（1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据两种垃圾桶数量相同，列出分式方程并求解即可，注意检验；
（2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴（元）；
答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元；
（2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，
由题意得：，
解得：，
∴品牌垃圾桶最多买10个；
答：品牌垃圾桶最多买10个．
24．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形表示出彩纸的面积即可；
（2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ．
【详解】（1）解：根据题意，需要彩纸的面积为
；
（2）解：当，时．
．