四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期1月选拔测试（期末）数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值情况，分析判断集合中元素的特征得不等式，求解即得.
【详解】因，
则，
故.
故选：D.
2. 设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】定义域为，
，函数为奇函数
易知：在0,+∞上单调递增，
且
故在上单调递增
当时，，充分性；
当时，即，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
3. 已知函数，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过函数的奇偶性可排除CD，利用可排除B，由此得到结果.
【详解】函数的定义域为，且，
是奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C，D；
当时，，排除B.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4. 设集合，且，函数（且），则（ ）
A. 为增函数B. 为减函数
C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.
【详解】当时，，时，在上不是增函数，故A不正确；
当时，，时，在上为增函数，B不正确；
当时，，，为偶函数，故C不正确；
当时，，，为偶函数，故D正确；
故选：D.
5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将函数的零点转化为方程在区间有且仅有3个根，由三角函数性质可解.
【详解】函数的零点，
即方程的根，
当时，，方程在区间有且仅有3个根，
则，解得.
故选：D.
6. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立，
结合二次不等式恒成立求解即可.
【详解】由题意，，且对任意，
，①
且，②
对于①，，结合，得.
若，由②知对任意，矛盾；
若，由②知对任意，即，
则，得，
综上，当时，对任意，①②同时成立.
故选：C
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果．
【详解】解： ，，
，
，等号取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴单调递减，且，
，可得
于是 ，
，
故选：A.
8. 存在函数满足对于任意都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
该题的意思是由四个选项中的等式哪一个能够确定出一个函数，举例说明A、B、C不正确；求出满足的函数解析式说明D正确.
【详解】解：A.，一个对应两个，错误；
B.，
，一个对应两个，错误；
C. ，
，一个对应两个，错误；
D. ，则，正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，是中档题.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为2B. 最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可.
【详解】A：当时，，
当且仅当即时等号成立，故A错误；
B：，
当且仅当即时等号成立，故B正确；
C：，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D：
当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：BC
10. ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用的单调性证明，然后直接得到，并通过证明，得出，即可验证C，D正确；然后利用该范围直接估计出的下界，即可得到A正确，B错误.
【详解】对于D，构造，易得在上递增，
而，，
所以有唯一的正根，且该根位于区间，
因为，所以，
则，故，.
所以，故D正确；
对于C，而，，故，而，
所以有，故C正确；
对于AB，由，知.
从而，故A正确，B错误.
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若周期为2，则为奇函数B. 为奇函数
C. 若周期为4，则为偶函数D. 为奇函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD.
【详解】由于的图像关于1,0中心对称，所以，
对于A, 若周期为2，则，
所以，故为奇函数，A正确，
对于B，若，显然的图像关于1,0中心对称，
但是，
故不是奇函数，B错误，
对于C, 若，显然的图像关于1,0中心对称，且周期为4，
当时，则故不为偶函数，C错误

对于D，，
所以，
故为奇函数，D正确，
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卷中的横线上.
12. 已知角的终边过点，且，则角的弧度数是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断角为第二象限角，再根据三角函数的定义及诱导公式得到，即可得解.
【详解】因为角的终边过点，
又，所以，，所以角为第二象限角，
因为，所以，
所以，
又，所以.
故答案为：
13. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的图象上存在不同的两个点关于原点对称列方程，利用换元法来求得的取值范围.
【详解】，
由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，
所以f−x=−fx有解，
即，
①，
令，当且仅当时等号成立，
则，则①可化为，
依题意，此方程在上有解，
当，解得，
当时，，符合题意.
当时，，不符合题意.
当，即②时，
设，的开口向上，对称轴，
要使在上有零点，
则或，
所以，
结合②得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】易错点睛：
对称点条件的正确使用：在列出关于原点对称的条件时，容易因条件代入不准确而导致方程错误.在运用对称点条件时，需确保每个代入步骤的符号处理正确.
一元二次方程的解集判断：在判断一元二次方程的解的存在性时，特别是对参数的范围进行分类讨论时，容易遗漏某些特殊情况或边界条件.因此，在讨论每种情况时，要确保所有可能性都得到了充分考虑.
14. 若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，不妨设，再分和两种情况讨论，分别求出，进而可得出答案.
【详解】存在（互不相等），满足，
则，
不妨设，且是相邻最值点.
当时，
则，解得，
由，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
当时，
则，解得，
由，解得，
当时，，
当时，，
所以，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由题意可得，不妨设，再分和求出是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的定义域为A，函数，则的值域是B，不等式的解集为C.
（1）求；
（2）若，则实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根式的意义求集合A，根据求集合B，进而求并集；
（2）分、和三种情况解不等式求集合C，再结合即可得结果.
【小问1详解】
因为，解得或，即；
又因为，当且仅当时，等号成立，则，
可得，即；
所以.
【小问2详解】
对于不等式，令，可得或，
当时，则，可知不成立，不合题意；
当时，则，可知不成立，不合题意；
当时，则，若，则；
综上所述：实数a的取值范围为.
16. 已知
（1）化简；
（2）若，求的值：
（3）若为第三象限角，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解；
（2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
所以.
【小问3详解】
因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以.
17. 已知函数是定义在R上奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式对恒成立，求实数得取值范围.
【答案】（1）1； （2）或.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质求参数值；
（2）根据已知可得，应用单调性定义判断单调性，再由单调性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求参数范围.
【小问1详解】
因为为奇函数，
所以，
解得.
【小问2详解】
由（1）知，又，所以.
任取且，
则，
所以，，故，
则为R上的减函数.
所以恒成立等价于恒成立，
令，则，因为，所以，
所以，解得或，
所以的取值范围为或.
18. 已知函数，为常数.
（1）证明：的图象关于直线对称.
（2）设上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明；
（2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明.
【小问1详解】
因为
，
因为，
所以图象关于直线对称.
【小问2详解】
（ⅰ）令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递减，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，解得，
即的取值范围为.
（ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
因为，
所以，所以，
由于，，所以，
则，即，
又在上单调递减，所以，即.
【点睛】关键点点睛：第一问关键是推导出，第二问关键换元，将问题转化为一元二次不等式在给定区间上有两解问题.
19. 已知函数，函数
（1）证明函数的奇偶性，并求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明；
（3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，0；
（2）单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在0,+∞内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解.
【小问1详解】
由于函数的定义域为且，关于原点对称；
又，故为奇函数；
则；
【小问2详解】
函数在1,+∞上单调递减，证明如下：
当时，，
设
由于且，
故，则，
因此，
故函数在1,+∞上单调递减.
【小问3详解】
因为，且在1,+∞上单调递减，为单调递增函数，
所以在0,+∞上单调递减，
所以在上的值域为，
，即
整理得：
即在0,+∞内有两不等实根，
令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根，
整理得：，令，则，
故题设等价于函数与在有两个不同的交点，
由对勾函数性质知函数上递减，在上递增，且x=1时，，如图，
所以函数在上值域为.
，即.
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.