2024~2025学年山东省百师联考高二上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年山东省百师联考高二上学期12月联考数学试卷（解析版），共16页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由直线，，当两条直线平行时，解得或，
当时，，
当时，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点到直线的距离为，
所以圆C的半径为，
则圆C的方程为.
故选：A.
3. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．
故选：C．
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，若，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
【答案】B
【解析】对于A选项，点关于平面对称的点的坐标是，A错；
对于B选项，若直线的方向向量为，平面的法向量为，
则，所以，B对；
对于C选项，已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，
则存在、，
使得，
即，
所以，
所以，，解得，C错；
对于D选项，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，D错.
故选：B.
5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向量与，
得，
又，则，所以平面，的夹角的大小为．
故选：C．
6. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 240B. 225C. 120D. 30
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为．
因为，，即
解得所以，所以．
故选：A．
7. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，抛物线的焦点．根据题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，，．
由消去，整理得，可得，所以．
因为，解得，
所以直线的方程为或．
故选：B．
8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
设直线的方向向量为，
，，，即令，则．
设直线与平面所成的角为，则，．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ）
A. 公差B.
C. D. 当时，最大
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
整理得，即，
因为，则，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，
，
所以当时，；当时，，
所以当时，最大，故D正确.
故选：ACD．
10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A
B.
C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
【答案】BC
【解析】由题意可得，，则，故A错误．
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
则，B正确．
设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，
联立得，
则，即，C正确．
由，
设：；，，，
联立得，
∴，，
则
，
设，
则，
∴，
又单调递减，则，∴，
故，D错误．
故选：BC
11. 如图，在正方体中，P为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 存在点，使得平面
D. 若直线与平面所成角的正切值为2，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
【答案】ABD
【解析】设正方体的棱长为．
对选项A，三棱锥的体积即三棱锥的体积，
因为的面积为定值，点到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值．故A正确；
对选项B，如图，分别取的中点，连接．
由且，知四边形是平行四边形，
所以．因为平面平面，所以平面．
同理可得平面，因为平面，
所以平面平面，则点的轨迹为线段，故B正确；
对选项C，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．设，
则．
设为平面的一个法向量，则
即，得取，则．
若平面，则，即存在，使得，
则，解得，与矛盾，
故不存在点使得平面，故C错误；
对于选项D，因为平面，
所以即为直线与平面所成的角．
因为直线与平面所成角的正切值为2，
所以．因为点为正方形内一动点（含边界），
所以点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧（正方形内），
且其圆心角为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列前项和满足，则_____.
【答案】10
【解析】由题得.
故答案为：10.
13. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则_____．
【答案】
【解析】在平行六面体中，点在上，且，
所以，
故答案为：
14. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________.
【答案】
【解析】设，，因为在椭圆上，
所以. 两式相减得，
即.
因为点是线段的中点，所以，.
斜率，得，即,解得.
当时，椭圆方程为，可得，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线过点为坐标原点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为3，求直线的方程．
解：（1）因为点，所以直线的斜率为．
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为．
又直线过点，则直线点斜式方程为，
整理得．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．
根据题意及点到直线的距离公式，得，所以．
两边平方，化简得，解得．
此时直线的方程为，整理得．
综上，直线的方程为或．
16. 如图，在四棱柱中,四边形是正方形，，，点为的中点．
（1）用向量，，表示；
（2）求线段的长及直线与所成角的余弦值．
解：（1）方法一：
由题意知
．
方法二：
因为为的中点，所以．
（2）因为四边形是正方形，，，
所以，，．
所以
，
即线段的长为．
因为，
所以
，
又
，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
17. 数列满足，，，数列满足，．
（1）证明数列是等差数列并求其通项公式．
（2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为，所以．
因为，所以，
所以．因，所以，
所以数列是首项，公差的等差数列．
所以．
（2）根据等差数列的前项和公式，得．
对于二次函数，其图象的对称轴为直线，
所以当时，取得最小值．因为，
所以存在最小值，最小值为－9，此时．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
解：（1）取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
（i）故，,设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为,

则，令，则，，故，
,，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
则,0,，0,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
，．
19. 设分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程.
（2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心.
（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
（ii）求点到直线的距离的最大值.
解：（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，
，由的面积为，得，
因此，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设，由直线垂直于轴，得，
由原点是的重心，得，
即，，
又，解得，所以到直线的距离为.
（ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，且，
即，
，
由原点是的重心，得，
解得，点，
于是，
整理得，
因此点到直线的距离为
，
所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为.