【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（四川成都专用，北师大版）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：北师大版九年级上、下册
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·山西大同·二模）孔明锁，亦称作八卦锁、鲁班锁，是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器．如图是一种孔明锁的一个组件，则该组件的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查几何体的三视图，结合从左边看物体得到的图形求解即可．
【详解】解：根据时间得，该组件的左视图为：，故选：D．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴D．正方形的对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题．
【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意；
D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；故选：B．
3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘. 规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品. 下表是活动进行中的一组统计数据：
则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，先由表格数据得到，再根据圆周角为，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵先由表格数据得到，∴，故选：B
4．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）已知反比例函数的图象上有三个点、、，若，则，，的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数性质，利用反比例函数的增减性“当时，在各个象限内y随x的增大而减小；当时，在各个象限内y随x的增大而增大”判断，，的大小关系即可．
【详解】解：反比例函数的比例系数，函数在各个象限内y随x的增大而增大，
，故选：A．
5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（1，1）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）
【答案】D
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABO与的相似比为，且在第四象限，
∴点A的对应点的坐标为，即(4，-2)，故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6．（2023春·浙江温州·九年级校考期末）伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段（ ）

A．DEB．BEC．D．BF
【答案】C
【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
，，，
则方程的其中一个正根为．故答案为：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义．
7．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）已知点P是外的一定点，嘉嘉进行了如图所示操作，则下列判断不正确的是（ ）
A．点A是的中点 B．直线都是的切线 C． D．
【答案】D
【分析】根据作图得到垂直平分线，即可判断A，根据直径所对圆周角是直角即可判断B，根据切线长定理即可判断C，根据三角形中线分得两个三角形面积相等即可判断D，即可得答案．
【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线，∴点A是的中点，故A正确，不符合题意，
连接，，，∵是的直径，∴，
∵，∴直线都是的切线，∴，故B，C正确，不符合题意，
∵点A是的中点，∴，故D错误，符合题意，故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．函数的最小值是
C．函数与x轴的两个交点坐标分别为和
D．当时，y随x的增大而增大

【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与x轴的交点判断即可．
【详解】解：图象关于直线对称，A说法正确，不符合题意；
函数的最小值是，B说法正确，不符合题意；
由关于对称的数为3，知函数与x轴的两个交点坐标分别为和，C说法正确，不符合题意；当时，y随x的增大而减小，D说法错误，符合题意，故选：D．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数的比，多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P（W）的值为
【答案】
【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由图可知区域C的面积为，最大的圆的面积为，
∴“豆子落在C中” 的概率．
10.（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为解题的关键．
设当为时的功率为P，则当为时的功率为，然后列方程组求得函数解析式，然后将代入计算即可．
【详解】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为,
由题意可得：，解得：（舍弃负值） 所以，
当时，． 故答案为：．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可．
【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，
根据题意得：，解得：或（舍去，不符合实际），
“衰分比”是，故答案为：．
12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点两点，过该函数图象上一点作轴于点，是线段上一动点，连接，，若以，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时点坐标；当时，，同样方法求此时点坐标．
【详解】解：将代入得：，∴，则
对于，当，∴ 当时，，解得，，
设，∴，由题意得：，
，当时，，即，解得，
，解得（舍去），，此时点坐标为；
当时，，即，解得，
，解得（舍去），，此时点坐标为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，解一元二次方程等知识点．
13．（2024·重庆·校考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG，并延长交DB于M点，若，则线段 ．
【答案】1
【分析】过点N作于点H，由四边形ABCD是正方形，得到是等腰直角三角形，继而求出，再根据角平分线的性质定理得出，再由外角的性质得到，最后由等角对等边得出BM的长度即可．
【详解】如图，过点N作于点H
四边形ABCD是正方形是等腰直角三角形
由作图可知，CM平分
，故答案为：1
【点睛】本题考查了角平分线的作图、角平分线的性质定理、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质、等角对等边，能够综合应用上述知识是解题的关键．
三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）解决下列问题：(1)计算：；
(2)解方程：；(3)解不等式组，并求出所有整数解的和．
【答案】(1) (2)(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程；实数的混合运算；
（1）根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解；（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．（3）先求出不等式组的解集，然后再确定整数解，最后求和即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴
∴
∴，
解得：
（3）解：
解不等式①得：，解不等式②得：，
所以该不等式组的解集为，
所以该不等式组的所有整数解为：，
所以该不等式组的所有整数解的和为．
15．（23-24九年级上·陕西·期末）某校九年级有若干名学生参加《中小学国家体质健康标准》测试．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了名学生的成绩进行分组整理．现已完成前个数据的整理，并绘制了不完整的统计（图）表，另外还有后个数据尚未整理，它们是，，，，．
学生测试成绩频数分布表：
请根据以上信息完成下列问题：(1)补全“学生测试成绩频数分布直方图”；
(2)这个数据的中位数所在组的成绩范围是______；
(3)若与两段学生成绩的分差大于10分，从样本中分以下的学生中任取人，求所抽取两名学生分差小于10分的概率．
【答案】(1)详见解析(2)(3)
【分析】根据尚未累计的个数所在的组，得到中有人，中有人，中有人，即可补全图；根据中有人，中有人，中有人，中有人，知中位数落在组；(3)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出所抽取两名学生分差小于10分的情况数，然后根据概率公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：中有人，中有人，中有人，补全统计图如下：
（2）∵中有人，中有人，中有人，中有人，
∴这个数据的中位数所在组的成绩范围是：；故答案为：；
（3）的名学生用A、、表示，的名学生用、表示，根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中所抽取两名学生分差小于10分的有种，
则所抽取两名学生分差小于10分的概率是．
【点睛】本题主要考查了频数统计表和频数分布直方图．熟练掌握统计方法，频数统计表和频数分布直方图的互补性，获取统计图表中的关键信息，补全统计图，求中位数，列表或画树状图求概率，是解决问题的关键．
16．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．
(1) ；(2)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是；(3)在（2）中，点是线段上一点，点的对应点的坐标为________．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】本题考查了作图—位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键．
（1）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案；（3）利用（2）中得到把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
【详解】（1）解：；故答案为：．
（2）解：如图，即为所求，
；
（3）解：点是线段上一点，则点的对应点的坐标为，故答案为：．
17．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2，
任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3．
【详解】解：任务1：如图，过作于，∴，
，
又∵，，∴（米），
（米），（米），
∴（米），
任务2：如解图2，过作于，过作于，则，
，
四边形为矩形，，，
∵米，，∴（米），
（米），（米），
∵由题意可知：米，∴（米）∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，∴，∴（米）
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）
任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
如解图3，在中，， 即（米），
（米），
答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米．
18．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）【问题背景】（1）我们知道任何实数都可以用数轴上的点来表示．如图1，点A、P在x轴上，，作轴交反比函数图象于点B，作轴交y轴于点C，若，则______；如图2，在的正方形网格中，点A、B、O、D在格点上，以所在直线建立数轴，在数轴上截取，则_____．

【提出问题】如图3，在数轴上，点M表示的数为，如何在数轴上找到表示的点P？
【分析问题】由图1、图2的思路可知利用函数或图形结构可以解决问题．
【解决问题】（1）方案一：构造一次函数．
第1步：以点O为原点，数轴为x轴，建立平面直角坐标系，该一次函数过点和点，画出图象；第2步：过点M作x轴的垂线交直线于点N；第3步：①在x轴上截取______，则点P在x轴上表示的数为．

方案二：构造相似三角形
第1步：以为直径作圆A；第2步：以O为圆心，1为半径作圆，圆O与圆A的交点为点B、C；
第3步：连接交数轴于点P，则点P表示的数为．
②证明：；③请说明点P表示的数为的理由；
【问题拓展】（3）由倒数的定义可知所以也可以构造二次函数来解决问题：又可以理解为，进一步变形得，因此还可以构造其它相似三角形来解决问题．请结合以上材料和所学知识，参照方案一、二的叙述方式写出新的操作方案确定【提出问题】中的点P．

【答案】（1），；（2）①，②见解析，③见解析；（3）见解析
【分析】（1）将代入，进而得出结果；可得出，从而，进一步得出结果；（2）①将代入，进一步得出结果；②连接，根据得出；③可推出，从而，进一步得出结论；
（3）第一步：以O为圆心，1为半径画弧，第二步：在弧上任取一点Q，连接，第三步：作，交x轴于P，则．
【详解】（1）解：轴，，，，；
如图1，
，
，，
，，，故答案为：；
（2）①解：当时，，，故答案为：；
②证明：如图2，

连接，，；
③解：是的直径，，
，，，
，，，
，，，∴点P表示的数为；
（3）解：如图3，

第一步：以O为圆心，1为半径画弧，第二步：在弧上任取一点Q，连接，
第三步：作，交x轴于P，则，
理由如下：，，，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，反比例函数，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．（24-25九年级上江苏·阶段练习）已知，是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，∴，
∴．故答案为：．
20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中，，为伸缩杆，其中，支架最大宽度，支架的高为，则外接圆的半径为 ，当一部宽为的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同，形成的外接圆的圆心为点，若，则为 cm．

【答案】
【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理等．延长交于点，设的半径为，在中由勾股定理求出即可；由垂径定理及切线的性质可知：，，，，由得，由可得，进而得，在中由勾股定理求出，设，在中由勾股定理即可求出的值．
【详解】解：延长交于点，如图1所示：

依题意得：，，由垂径定理得：，，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，，解得：，的半径为；
延长交于，交于，连接，如图2所示：
依题意得：，，由垂径定理及切线的性质可知：
，，，，，，，
，，，
又；，，，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：．即为．故答案为：；．
21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ．
【答案】
【分析】由，可设，则，，，再设，，分别过点作的垂线，垂足分别为，由得，则，据此得进而得，则点，同理得，然后根据得，则，设，得点，据此列方程整理①，由△ABD的面积得，整理得②，由①②解出，进而可得k的值．
【详解】 ，设，则，，
，，即：，设，，
分别过点作的垂线，垂足分别为，如图：
，，，
即：，同理：，
，点E的坐标为，
，，，
，设，则，
，，点F的坐标为，
点，均在反比例函数的图象上，，整理得：①，
的面积为，，，②，
由①②得：，．故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，根据题意，设置适当的辅助未知数分别表示出点E，F的坐标，理解根据函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键．
22．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处，点为线段上一动点，过点作，垂足分别为点，以为邻边构造平行四边形，若平行四边形的周长为，则 ．

【答案】
【分析】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接，作于点I，由平行四边形的性质得，可求得，由矩形的性质得，则，由折叠得，则，所以，由，得，可证明四边形是矩形，则，再证明，得，根据勾股定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，作于点I，则，
∵四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为，
∴，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
由折叠得，∴，∴，
∵于点M，于点N，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．

23．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线图像与轴分别交于两点，两点在抛物线上且轴（点在点右侧），与轴交于点，连接，点关于的对称点为点，点为直线上一点；若点横纵坐标互为相反数，，始终在平面上存在点使，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由得，设，，可得，，得到抛物线的对称轴为，进而可得，得到，再代入可得，得到，，，，，，利用相似三角形的性质可知，得到点在射线上运动，当时，的值最小，利用三角函数可得，得到，再根据余角性质可得，进而得到，最后利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：如图，∵，∴，∴设，，
∵点横纵坐标互为相反数，∴，，
∴抛物线的对称轴为，∴，∴，
∴抛物线解析式为，把代入得，，
解得或a=−1（舍去），∴，，，，，
当时，，解得，，∴，∴，
∵点为直线上一点，点在平面上且，
∴，∴点在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
在中，，即，解得，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短，余角性质，根据题意正确画出图形是解题的关键．
二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．（23-24九年级上·四川成都·期末）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
【答案】(1)A系列单价为10元；B系列单价为15元(2)8元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可．
（1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据销售额等于单价乘以数量列式 根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程，得，
经检验，是原方程的根，此时=15元，
答：A系列单价为10元；B系列单价为15元．
（2）设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，
根据题意，得，整理得，解得，
尽可能让顾客得到实惠，故定价为8元．答：B系列产品的实际售价应定为8元．
25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，关于的二次函数的图象与一次函数的图象交于M和两点，过点作轴的平行线与该二次函数图象交于点A．(1)当时，①若，求的值；②连接，，若平分，求的值；
(2)直线上有不与N重合的两点，，且，连接AP，AQ，若，且，求a的取值范围．

【答案】(1)①；② (2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；（1）①当时，求得函数解析式为，将代入即可求解；②连接，，求得坐标，根据角平分线对应线段成比例，联立求解即可；
（2）根据题意证明，进而求得，联立求解可得，进而求解；
【详解】（1）解：①当时，，
当时，，将代入，
可得：，解得：（舍去）或，故；
②连接，，联立，
当时，当，，∴，
∵抛物线的对称轴为：，设点横坐标为，则解得：，则，
设直线函数解析式为：，将，代入，
可得：，解得：直线函数解析式为：，
过作于点，作于点，过作于，
∵平分，，，
，，
，，解得：
，解得：
（2）解：过作，延长，过作垂线交延长线于点；
的解析式为，，，，
，，，，
，，
的图象与一次函数的图象交于M和两点，
联立，可得：
根据韦达定理可得：，则，即，
，则，即，
26．（2024·广东深圳·模拟预测）在四边形中， P为对角线BD延长线上的一点，过点P作交射线AD于点E，连接CE．过点P作交射线于点F ．(1)如图1，若四边形为正方形，求证：(2)若四边形为菱形，且，连接并延长，交直线CE于点G ．
①如图2，当G为CE中点，求的值；②如图3，若P点为射线BD上一点，当为等腰三角形时，请直接写出 的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析 (2)①；②的度数为或或．
【分析】（1）根据正方形的性质先证明是等腰直角三角形，推出，再证明四边形是平行四边形，推出，进而得到，利用即可证明；
（2）①延长交AD延长线于点，证明，设，证明，利用相似三角形的性质即可解答；②分点P在BD延长线上和点P在BD上两种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合菱形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，，
∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：①延长交AD延长线于点，
∵四边形是菱形，∴，，，
∵G为CE中点，∴∵∴，
∴∴设，则，
∵四边形是菱形，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，，∴，∴，即，
∴，即，∵，
∴，即令，则，
解得：（负值舍去），∴；
②如图，当点P在BD延长线上时，∵，四边形是菱形，
∴，∴，∴，
∵为等腰三角形，∴此时，仅存在，则，
同理①得是等腰三角形，四边形是平行四边形，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∴；∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴；
如图，当点P在BD上，时，同理得：；∴，

∵，，，
∴，，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴；
如图，当点P在BD上，时，
设，则，同理得：，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴；
综上，的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，正方形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
转动转盘的次数
100
150
200
500
800
1000
落在“饮料”区域次数
32
39
64
155
254
299
成绩分
频数累计
频数
频率
正
合计
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．