人教A版（2019）高一数学必修第二册-立体几何初步单元复习(第三课时)-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-立体几何初步单元复习(第三课时)-1教案，共17页。教案主要包含了本题小节，本题小结等内容，欢迎下载使用。

教学基本信息
课题
空间立体几何初步单元复习（第三课时）
学科
数学
学段：高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
陈继红
顺义区杨镇第一中学
实施者
陈继红
顺义区杨镇第一中学
指导者
李淑敬/赵贺
北京市顺义区教育研究和教师研修中心
课件制作者
陈继红
顺义区杨镇第一中学
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
本节课对空间中直线、平面的垂直关系涉及的相关知识进行梳理进而构建知识结构图，能根据知识结构图解决一些简单的综合问题，在研究垂直问题时能让学生体会转化的思想，发展学生数学抽象、直观想象的核心素养，在教学过程中设计了五道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
上节课大家复习了空间中点、线、面的位置关系，又进一步研究了空间直线、平面的特殊位置关系-----平行.今天我们重点研究空间直线、平面的另一种特殊位置关系-----垂直.与研究空间中直线、平面的平行关系类似我们首先进行知识梳理来构建知识结构图.
提出类比空间中直线、平面的平行关系的学习方法，同时明确平行关系和垂直关系都是空间直线、平面的特殊位置关系.
新课
一.知识梳理
1.直线与直线垂直
定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与b垂直，记作a⊥b．
【总结】空间中线线垂直包括共面垂直和异面垂直，证明共面垂直常用的方法有1.利用等腰三角形、矩形、菱形的几何特征2由圆的直径所对的圆周角为90度3应用勾股定理得直线与直线垂直；证明异面垂直的常用方法有1定义，2由直线和平面垂直的定义得直线与直线垂直。
2.直线与平面垂直
（1）定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
【总结】请同学们注意定义中任意一条直
线不等同于无数条直线．
（2）由定义得到的下面经常使用的命题：
如果一条直线和一个平面垂直，另外一条直线是这个平面内的直线，则这两条直线垂直．
图形语言： 符号语言：
【总结】因此我们得到知识结构图中的第一条线,由图我们知道要证直线与直线垂直需证相应的直线与平面垂直.
（3）直线与平面垂直判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
图形语言： 符号语言：
【总结】请大家注意：判定定理中两条相交直线这个条件具有很强的限制性，同时也为证明直线与平面垂直指明了方向，由判定定理得直线与平面垂直就找这个平面内具有相交特征且和相应直线垂直的线.
【总结】：到此我们得到知识结构中的第二条线，那么我们要得到直线与平面垂直可以找相应的直线与直线垂直.通过直线与直线垂直判断直线与平面垂直，蕴含了降维的思想。
(4)判定直线与平面垂直常用命题
两条直线互相平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直于这个平面．
图形语言： 符号语言：
【总结】：这个命题体现了平行关系和垂直关系之间的联系.同时根据这个命题还可以进行问题得转化，要证b垂直于平面α可以转化为证与b平行的直线a垂直于平面α。
那么由直线与平面垂直能得到什么？这就是直线与平面垂直的性质：
(5) 垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言： 符号语言：
【总结】：这个性质给出了判定两条直线平行的又一种方法.到此我们得到了结构图中的第三条线.
3．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角，就 说两个平面互相垂直．
图形语言： 符号语言：
【总结】：请同学们注意用定义判断两平面垂直需要找出二面角的平面角并且说明它是直角．
(2) 平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
图形语言： 符号语言：
【总结】：到此得到结构图中的第四条线，由图说明要得平面与平面垂直需找相应的直线与平面垂直.
(3) 平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
图形语言： 符号语言：
【总结】请同学们注意条件中这条直线是其中一个平面内的直线。另外一定要关注两个平面的交线，有了交线顺藤摸瓜找与交线垂直的直线，进而证明直线与平面垂直，这个条件给解决问题指明了方向。
到此我们得到结构图中的第五条线.
那么本章我们研究空间中直线、平面间垂直关系的知识结构就构建完整了，由结构图可以看出直线与直线垂直和直线与平面垂直，直线与平面垂直和平面与平面垂直之间可以互相转化，这就给我们解决问题找到了方向，同时以上知识还与直线、平面平行关系建立了联系.
与上节课复习的空间中直线、平面的平行关系知识结构图联系到一起，就有了空间平行、垂直关系之间的转化.
有了这些知识储备我们可以解决什么问题呢？如何解决呢？下面我们做一些具体的题目.
二、例题解析
例题 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m，l⊥n”的( A )．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由l⊥α，m α，n α可得l⊥m，l⊥n；
反之，因为m，n不一定相交，如图，
此时l与α不垂直．所以“l⊥α”是“l⊥m，l⊥n”的充分不必要条件．
【总结】这道题考查了垂直关系结构图中的直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化，解决这类问题时一定要明确定理成立的条件才能得出结论，构建知识结构图的过程中要实现知识的内化，理解并记忆．
例题 下列命题中正确的是_____________．
①垂直于同一直线的两条直线平行
②垂直于同一平面的两个平面平行
③垂直于同一平面的两条直线平行
④垂直于同一直线的两个平面平行
①，我们可以在正方体中找到反例,如A1D1与D1C1都垂直于直线的D1D，但A1D1与D 1C1是相交直线
②同样可以在正方体中找到反例，如平面AD1与平面D1C都垂直于平面AC.
③垂直于同一平面的两条直线平行,是直线与平面垂直的性质，所以正确.
④解析：假设平面α与平面β不平行，
则平面α与平面β相交．
不妨设α∩β＝n，m∩α＝A，m∩β＝B，如图.

在直线n上取一点C，连接AC，BC．
∵m⊥平面α，AC 平面α，
∴m⊥AC，即∠BAC＝900．
同理可得：m⊥BC，即∠ABC＝900．
∴在ΔABC中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB>1800，
这与三角形内角和为1800矛盾．
总结：1．要否定一个命题时只需举一个反例，常借助特殊模型(如正方体)进行举例．要肯定一个命题需要对这个命题进行推理论证．2．注意文字语言、图形语言、符号语言三种语言的灵活应用，这也是本章的重点．
例题 如图AB是 的直径，点C是 上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由．
【分析】我们根据由已知得到什么？得结论需要什么？来寻求解题思路。
由结论要判断直线DE与平面VBC的位置关系，由几何直观猜测DE⊥平面VBC，接下来我们需要说明DE⊥平面VBC，又由D，E分别是VA，VC的中点可得DE//AC，所以由判定直线与平面垂直的常用命题问题转化为说明AC⊥平面VBC。要说明AC⊥平面VBC由结构图知可以由直线与平面垂直的判定得到，也可以由平面与平面垂直的性质得到.
由直线与平面垂直的判定得AC⊥平面VBC，需要说明AC垂直于平面VBC内的两条相交直线，由已知条件易得AC⊥BC，再利用VC⊥平面ABC，由直线与平面垂直的定义可得VC⊥AC，从而AC⊥平面VBC。这就是方法一.具体解法如下：
方法一：
解：直线DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直径，
∴AC⊥BC ．
∵VC⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴VC⊥AC．
又∵VC∩BC=C，VC 平面VBC，
BC 平面VBC，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分别是VA，VC的中点，
∴DE是ΔVAC的中位线．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【分析】由平面与平面垂直的性质得AC⊥平面VBC，需要说明过AC的平面与平面VBC垂直,同时AC垂直于这两个平面的交线，由题意可知VC⊥平面ABC，VC包含于平面VBC，从而平面ABC⊥平面VBC，由已知条件易得AC⊥BC，平面ABC与平面VBC的交线为BC,进而AC⊥平面VBC。这就是方法二.具体解法如下：
方法二：
解：直线DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直径，
∴AC⊥BC．
∵VC⊥平面ABC，VC 平面VBC，
∴平面VBC⊥平面ABC．
∵平面VBC∩平面ABC=BC，
AC 平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分别是VA，VC的中点，
∴DE是ΔVAC的中位线．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【分析】由图知过AC的平面除了平面ABC，还有平面VAC，我们能否证明面VAC垂直于面VBC，若成立也可以得到AC⊥平面VBC，这里用到了平面与平面垂直的定义.
要用平面与平面垂直的定义证明平面VCB⊥平面VCA，需要找到二面角B-VC-A的平面角，并说明它是直角。由题意可知VC⊥平面ABC，AC包含于平面ABC，BC包含于平面ABC，可得VC⊥AC，VC⊥BC，从而由二面角的定义知∠ACB为二面角B-VC-A的平面角，由已知条件易得AC⊥BC，进而平面VCB⊥平面VCA，这就是方法三。具体解法如下：
方法三：
解：直线DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直径，∴AC⊥BC．
∵VC⊥平面ABC，AC 平面ABC， BC 平面ABC，
∴VC⊥AC，VC⊥BC．
∴∠ACB为二面角B-VC-A的平面角．
∴平面VCB⊥平面VCA．
∵平面VCB∩平面VCA＝VC，
AC⊥VC，AC 平面VCA，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分别是VA，VC的中点，
∴DE是ΔVAC的中位线．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【本题小节】：1.本题的解题思路是“由已知得到什么？得结论需要什么？”
2.方法一主要利用了直线与直线垂直与直线与平面垂直之间的相互转化，关键是要说明AC垂直于平面VBC内的两条相交直线．
3.方法二主要利用的是直线与平面垂直与平面与平面垂直的相互转化，关键是要说明过AC的平面与平面VBC垂直,同时AC垂直于这两个平面的交线．
4.方法三用平面与平面垂直的定义得平面与平面垂直，关键是要找到二面角的平面角，并说明这个角为直角．
5.本题多次用到三个垂直之间的相互转化，同时还考查
了 这个命题.
例题 如图在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将ΔAED，ΔBEF，ΔDCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'．
（1）求证A'D⊥EF； （2）求三棱锥A'-EFD的体积．
【分析】:本题是立体几何中的翻折问题,从平面图形到立体图形关键要抓住哪些量变了，哪些量没变.由结论我们要证垂直，所以要关注折前、折后有哪些垂直条件或能得到垂直的条件.例如由三角形AED翻折到三角形A’ED,由题意翻折前AD⊥AE，翻折后A’E仍垂直于A’D.由三角形BEF翻折到三角形A’EF，由题意翻折前BE=BF，翻折后A'E=A'F，得到三角形A’EF是等腰三角形，进而可以构造直线与直线垂直。
【分析】:要证直线A'D与直线EF垂直，由结构图知只需证直线A'D垂直于直线EF所在的一个平面，而由直线与平面垂直的判定定理，还需证直线A'D与直线EF所在的平面内的两条相交直线垂直。在本题中，由题意可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F,A'E交A'F于A'，从而A'D⊥平面A'EF，进而A'D⊥EF。具体证明如下：
方法一
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AE，CD⊥CF ．
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F．
∵A'E∩A'F=A'，
A'E 平面A'EF，A'F 平面A'EF，
∴A'D⊥平面A'EF．
∵EF 平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
【分析】:要证A'D垂直于EF，能否证明EF垂直于A'D所在的一个平面，由题意知图中没有现成平面满足，那么能否构造一个平面满足题意？要得直线与平面垂直需找直线与直线垂直，由题意A'E=A'F,DE=DF,我们可以构造直线与直线垂直，取EF中点G，连接A'G，DG，易得EF⊥A'G，EF⊥GD，从而可得EF⊥平面A'GD，进而A'D⊥EF。就是方法二，具体证明如下：
方法二：
证明：取EF中点G，连接A'G，DG．
∵四边形ABCD是正方形，
点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF．
∴A'E=A'F，DE=DF．
∵G是EF的中点，
∴EF⊥A'G，EF⊥GD．
又∵A'G∩GD＝G，
A'G 平面A'GD，GD 平面A'GD
∴EF⊥平面A'GD．
又∵A'D 平面A'GD，
∴A'D⊥EF．
【分析】:要求三棱锥的体积，由公式V=1/3Sh，需要求三棱锥的高和对应的底面积，而求高h是关键，需要证明直线与平面垂直，由（1）知A'D⊥平面A'EF，从而三棱锥A'-EFD的体积等于三棱锥D-A'EF的体积，进而求三棱锥A'-EFD的体积.具体求解过程如下：
解：由（1）知A'D⊥平面A'EF．
∴ ．
∵BE=BF=1，BE⊥BF，
∴A'E=A'F=1，A'E⊥A'F．
∴ ．
∵A'D=2，
∴
【本题小结】:
1.立体几何的翻折问题关键是确定从翻折前到翻折后哪些量没变，哪些量变了，这就需要同学们的直观想象能力．
2.本题第一问用到了由直线与直线垂直与直线与平面垂直的相互转化，第一种方法借助了原图现有的线面，第二种方法利用平面几何知识根据需要构造了直线与直线垂直，这也是构造垂直常用的做辅助线的方法．
3.本题第二问是三棱锥的体积问题，锥体的体积问题关键是找到相应的直线与平面垂直，同时还要注意三棱锥可以转换顶点．在求相关几何体体积中用到了垂直关系，通过前两节课的复习在求异面直线所成角和二面角时也用到了垂直关系．
例题 如图，一块正方体形木料的上底面有一点E．若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？

【分析】：本题是一道简单的应用题和探索性问题，那我们先设直线Ɩl满足题意，如图，由题意Ɩ⊥CE，有条件易得CC1⊥Ɩ，由直线与平面的判定定理得Ɩ⊥面CEC1，从而得Ɩ⊥C1E，进而只需在上底面画一条与C1E垂直的直线即可。具体过程如下：
解：设要画的直线为Ɩ，连接EC1．
由题意Ɩ 平面A1C1，且Ɩ⊥CE．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴CC1⊥平面A1C1．
又∵Ɩ 平面A1C1，
∴CC1⊥Ɩ．
又∵Ɩ⊥CE，CE∩CC1＝C，
∴Ɩ ⊥平面CEC1．
∵EC1 平面CEC1 ，
∴Ɩ⊥EC1．
∴在上底面过点E作直线Ɩ⊥EC1即可．
【本题小结】:
这道题考查了直线与直线垂直与直线与平面垂直的相互转化，同时这道题的难点是如何建立数学模型，如何借助相应的图形和符号来表示这个模型，灵活应用文字语言、图形语言、符号语言三种语言，这也是本章的重点．
明确异面直线的定义及空间中直线与直线垂直的概念，同时总结空间中直线与直线垂直证明的常用方法.
梳理直线与平面垂直的相关知识，分析定义、定理中需要关注的关键点，逐步完善知识结构图.
梳理平面与平面垂直的相关知识及关键知识点，逐步完善知识结构图
与空间中直线、平面平行关系建立联系，构成更完整的知识结构图，让学生体会知识之间的联系.
这道例题主要是让学生体会知识的学习一定要重视内化，真正理解掌握.
这道例题主要让学生总结判断一个命题常用的方法，同时用到了反证法，让学生熟悉一下这种证明方法.同时体会文字语言、符号语言、图形语言的灵活应用.
这道例题主要让学生体会“由已知得到什么？得结论需要什么？”的思想方法，同时体会三种垂直关系之间的转化.本题还用到了由平面与平面垂直的定义证明平面与平面垂直.
本题是翻折问题，这类问题是学生刚接触，难点之一就是能否直观想象出折前折后哪些量变了，哪些量没变.同时让学生体会由知识结构图根据需要构造相应的辅助线.
三棱锥的体积问题是经常考查的问题，本题主要是让学生体会体积的求取关键是找到相应的高，进而可以灵活的转换顶点.
本题借助垂直关系的应用，首先让学生感受数学就在身边，其次熟悉文字语言、图形语言、符号语言之间的灵活应用.
总结
三.本节小结
1.这节课复习了直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的相关知识，构建了空间立体几何中的垂直关系的知识结构，构建知识结构图的过程中要实现知识的内化，理解并记忆．三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．
2.这节课我们综合运用这些定理、性质和已获得的结论证明了一些空间图形垂直关系的简单命题．空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，在解决问题的过程中，紧紧抓住“由已知得到什么？得结论需要什么？”，进一步找到解决问题办法．
3.这节课同学们在寻求解题思路和给出严格证明的过程中提升了自己的直观想象能力和逻辑分析能力．
回顾本节课知识，并建立知识的结构.
作业
四.课后作业
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= 900，AA1=AB，求证：A1C⊥AB1．
课后作业，加深对知识的理解和掌握.