人教A版（2019）高一数学必修第二册-立体几何初步单元复习(第二课时)-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-立体几何初步单元复习(第二课时)-1教案，共16页。教案主要包含了知识概要，典型例题，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学基本信息
课题
立体几何初步单元复习（第二课时）
学科
数学
学段：高中
年级
高一年级
教材
书名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
张雅丽
北京市顺义区杨镇第一中学
实施者
张雅丽
北京市顺义区杨镇第一中学
指导者
李淑敬
北京市顺义区教育研究和教师研修中心
赵贺
北京市顺义区教育研究和教师研修中心
课件制作者
张雅丽
北京市顺义区杨镇第一中学
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
本节课是立体几何初步的单元复习课第二课时，通过对基础知识的复习，帮助学生回顾本部分的主要内容，正确理解所学知识，理清知识脉络，对这部分知识系统化和网络化；通过例题巩固，揭示解题规律，总结解题方法，提高这部分的思辨能力，强化规范，提高示范功能。
教学重点：空间点、直线、平面的位置关系的判定；三种平行之间转化的应用及探索性问题的一般解题策略。
教学难点：探索性问题的理解。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
本节课我们针对的主要内容是空间点、直线、平面的位置关系的判定和平行之间转化的应用。
明晰教学内容和教学重点
一、知识概要
复习巩固
典型例题
知识结构
知识梳理：
（一）4个基本事实及推论
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即“不共线的三点确定一个平面”．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
以上四点是确定平面的重要依据
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 作用：可以判定直线是否在平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：（1）判定两个平面相交，
（2）判定点在直线上，即若点是两个平面的交点，直线是两个平面的交线，那么这个点一定在该交线上。
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．通常叫做平行的传递性，可以判定线线平行。
（二）空间直线与平面的位置关系
空间中直线与直线的位置关系有：相交直线——在同一平面内，有且只有一个公共点 ，平行直线——在同一平面内，没有公共点，异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。其中相交直线和平行直线又称为共面直线。
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，直线与平面没有公共点。其中当直线与平面相交或平行时，称为直线在平面外。
空间中平面与平面的位置关系有：两个平面平行，两个平面没有公共点；两个平面相交，两个平面有一条公共直线。
位置关系的判定主要通过公共点个数这个几何特征。
三种位置关系中也分别给出了线线平行、线面平行、面面平行的定义，即判定三种平行关系的定义法。
（三）空间平行之间的转化
具体的：
线面垂直的性质定理平行与垂直之间建立了桥梁。
希望同学们通过以上知识的复习，课下也能建构一个适合自己的知识网络图，实现知识的内化，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
二、典型例题
例题1：若直线a不平行于平面α，且直线a平面α，则下列结论成立的是（ ）
（A）α内的所有直线与a是异面直线（B）α内不存在与a平行的直线
（C）α内存在唯一一条直线与a平行（D）α内的所有直线与a都相交
解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、相交、平行。
根据已知排除平行和直线在平面内，就剩下直线与平面相交.
同学们可以拿出笔当作直线、桌面看作平面进行实物操作，一只手摆出直线与平面相交，另一只手在桌面上画各种位置的直线及寻找反例，很快能排除A、D选项。通过实物操作也能初步判断B是正确的。
不妨设平面内有一直线b，b与直线a平行，而在平面内过点A必能作直线c，使直线c与直线b平行，由平行的传递性得直线a与c平行，如图，显然矛盾。
故B是正确的。
例题2：如果直线a//平面α，点P∈平面α，那么过点P且平行于直线a的直线（ ）.
（A） 只有一条，不在平面α内（B）有无数条，不一定在α内
（C）只有一条，且在平面α内 （D）有无数条，一定在α内
解析：根据题意，可以画图演示，进行推理。
如图:
过直线a可作平面β，设α ∩ β=m，则a//m．
当m恰好过点P时，直线m存在唯一一条．
当m不过点P时， P∈α，mα， 则过点P且平行于m的直线只有一条．
由平行的传递性，过点P且平行于a的直线也只有一条且在平面α内．综上选C。
例题3：已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则（ ）.
（A）α // β， l // α （B）α 与 β相交，且交线平行于l
（C）α⊥β，l⊥ β （D）α 与 β相交，且交线垂直于l
解析：此题的条件比较多，可乱中捋序，由m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，可知平面α与β相交，否则m//n。设平面α与β的交线为直线a.
第一组l⊥m，lα，则平面α内一定存在直线b，满足b//l且bβ；
第二组l⊥n，lβ，同理 平面β内一定存在直线b'，满足b'//l且b'α。
b//l，b' //l，所以b//b'，进而b//β，由线面平行的性质得b//a,因此l//a,即选B。
本题也可以通过给出的已知条件找到实物模型
如图，在直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若AB⊥AF， DE⊥EF． 设平面AFF1A1为α ，平面FEE1F1为β，棱AB所在直线为m，棱D1E1所在直线为n，棱CC1所在直线为l.结论显然为B.
总结：空间点、直线、平面位置关系的判定问题
（1）平面的基本事实是基础. 常采用列举形式,对各种关系进行考虑.
（2）利用线线、线面、面面的平行及垂直的判定定理、性质定理进行综合推理，判断命题是否正确.
（3）利用实物操作、模型演示充分发挥直观性作用.
例题4：如图，在四面体A-BCD中，M是AD的中点， P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ//平面BCD.
策略就是：
“由已知想可知，由求证想需知”，寻求平行之间的转化.
本题要证线面平行，由转化关系可以有线线平行和面面平行两个思路。
思路一 由线线平行推线面平行
结合已知P是BM的中点， AQ=3QC.
分析一：
证法一：在BD上取中点E，在CD上取DF=3FC，
∵ P是BM的中点，
∴ 在△MBD中，PE//DM且PE=DM．
∵ DF=3FC，AQ=3QC， ∴ QF//AD且QF=AD．
又 M是AD的中点， ∴ QF//DM且QF= DM．
∴ PE//QF且PE=QF．∴ 四边形PEFQ是平行四边形． ∴ PQ//EF．
∵ PQ平面BCD，EF平面BCD，∴ PQ//平面BCD．
分析二：
在平面BCD内找到与PQ平行的直线还可以根据结论。
寻找平行线的目标就转化为寻找交线。
证法二：连接AP并延长交BD于G，连接GC．取AG的中点为H，连接HM．
∵ M为AD中点， ∴ HM//BD．
∵ P为BM中点， ∴ △PBG≌△PMH．
∴ PG=PH，即PG= AG．
∴ AP=3PG．
∵ AP=3PG，AQ=3QC， ∴ △APQ∽△AGC． ∴ PQ//GC．
又 PQ平面BCD，GC平面BCD，
∴ PQ//平面BCD．
思路二 由面面平行推线面平行
分析三：
结合已知，P是BM的中点，不妨取MD的中点为N，
证法三：取MD的中点为N，连接PN，QN．
∵ M是AD的中点， ∴ AN=3ND．
∵ P是BM的中点， ∴ PN//BD．
又 PN平面BCD，BD平面BCD，
∴ PN//平面BCD．
∵ AQ=3QC且AN=3ND，
∴ QN//CD．
又 QN平面BCD，CD平面BCD， ∴ QN//平面BCD．
∵ PN∩QN=N， ∴ 平面NPQ//平面BCD．
∵ PQ平面NPQ， ∴ PQ//平面BCD．
总结：此题证明线面平行，可以通过作辅助线在平面BCD内找到与已知直线PQ平行的直线，辅助线的作法有：（1）结合已知条件取特殊位置；（2）利用平面基本事实找到交线．有的利用三角形中位线、有的利用平行四边形的性质、有的利用三角形相似来证明线线平行．另外也可以通过构造过PQ与平面BCD平行的平面，利用面面平行来证明线面平行．
思考：在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中， AB//DC.回答下面的问题：
（1）在侧面PAB内能否作一条直线段使其与DC平行？
（2）在侧面PBC内能否作一条直线段使其与AD平行？
分析：

结合已知条件AB//DC，AB侧面PAB ，所以只需在平面PAB内作EF//AB，即可得EF//DC。
解：（1）能作出直线段与DC平行．
具体作法是，在侧面PAB内作AB的
平行线EF，即 EF//AB．
∵ AB//DC，∴ EF//DC．
而且这样的直线段还有很多。
（2）在侧面PBC内不一定能作一条直线段使其与AD平行．
理由如下：
如果AD与BC平行，可参照（1）的方法作出平行线．
如果AD与BC不平行，设侧面PBC内能作出直线段MN//AD．
∴ MN//底面ABCD． ∴ MN//BC． ∴ AD//BC．
∴侧面PBC内不能作出直线段与AD平行．
综上所述：如果AD与BC平行时，在侧面PBC内能作出直线段与AD
平行；如果AD与BC不平行时，在侧面PBC内不能作出直线段与 AD平行．
思考：仍然在这个题设条件下，结合前面的问题，你还能提出哪些类似的数学问题？
例如：若侧面PAD与侧面PBC的交线为l ，交线l能否与底面ABCD平行？
若AD//BC，在棱PD上是否存在点E， 使得PB//平面ACE?
这类“是否存在”、“是否有”、“在何位置”等形式设问的问题，是一种具有开放性和发散性的问题，常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立．要求我们结合已有条件进行观察、分析、比较、概括、归纳和猜想去探索．
第一个问题：若侧面PAD与侧面PBC的交线为l，交线l能否与底面ABCD平行？
这是对命题结论的探索性问题，即在给定的条件下这个结论能否成立?
常用策略：（1）从条件出发，探索出要求的结论；
（2）假设结论成立，寻求与条件相容还是矛盾的结论．
解：假设交线l//底面ABCD．
由基本事实3，交线l过点P．
∵ l侧面PAD， ∴ l//AD．
同理 l//BC． ∴ AD//BC．
∵条件中不确定AD与BC的位置关系，
∴如果AD与BC平行时，交线l与底
面ABCD平行；如果AD与BC不平行时，交线l不与底面ABCD平行．
第二个问题：若AD//BC，在棱PD上是否存在点E，使得PB//平面ACE?
这是对命题条件的探索性问题，即探索能使结论成立的条件是什么.
常用策略：（1）通过观察与尝试给出条件，先猜再证；
（2）找出结论成立的必要条件，再给出充分性的证明．
借助已知条件，猜E为PD中点时，可能使结论成立。
本题将转化为在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中， AB//DC， AD//BC，
E为棱PD的中点，求证：PB//平面ACE.
分析：
连接BD，则O为BD的中点，所以有OE //PB. 则有PB//平面ACE.
解：设E是PD的中点，连接BD交AC于点O，连接OE．
∵ AB//DC，AD//BC，
∴ 底面ABCD为平行四边形．
∴ O为BD中点．
又 E是PD的中点， ∴ OE//PB．
∵ PB平面ACE， OE平面ACE，
∴ PB//平面ACE．
∴ 棱PD上存在点E，E是PD中点时，使得PB//平面ACE．
总结：探索性问题，一类是命题结论的探索，一类是命题条件的探索．求解命题结论“是否存在”，“是否有”时，可以先假设结论存在，从这个结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了，则存在；如果找不到，则不存在；探求点的位置时，可以从特殊位置入手，先猜测再证明．随着我们不断地学习，还会有其它的手段来解决这类问题．
建构知识结构图，促使学生把原本零散的互不相连的各个知识点相互联系起来，加深内部的联系，对这部分知识系统化和网络化
基本事实是点、线、面位置关系的基础，带领学生一起巩固，明确作用。
帮助学生梳理线线、线面的位置关系，突出有无公共点这个几何特征是判断位置关系的关键点，同时简单介绍平行的定义法。
清楚平行间的转化关系，更清晰地寻找到解题思路。
通过表格梳理知识，有利于知识的条理化；
从文字语言、图形语言、符号语言三方面形成对比，加深各定理的理解。培养学生的数学阅读能力。
通过列举法，对各种关系进行排除。培养学生利用身边的工具，体会实物操作与思辨论证间相辅相成的作用，更符合学生的特点，容易被学生接受。
线面平行的性质定理的应用为学生学习过程中的弱项，巩固性质的应用，加深理解。立体几何问题的分析要求严谨，必要时也要进行分类讨论分析。
位置关系的判断，可以由线线、线面、面面的平行及垂直的判定定理，性质定理来判断是否正确；也可以通过已知条件找到实物模型这个有力的载体，直观演示，提高空间想象能力。
及时归纳空间点、直线、平面位置关系的判定问题的一般方法。
这是一个典型的证明线面平行类型的题目，它可以用三种方法，也是证明线面平行的常见方法，这种立体几何中的三大元素之间关系的依存、关联性，也是本节课的重点内容。而由线//线推证线//面时找辅助线、由面//面推证线//面时找辅助面正是本节课的难点，是要重点突破的问题。所以学生通过此题的学习，不仅要掌握证明线面平行的常用思路，还能熟悉作辅助线的一般策略，同时通过一题多解的练习 拓宽学生的思路，培养学生求异的创新意识。
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引导学生从空间几何方面寻找线线平行。了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系，并有条理地表述论证过程。始终围绕题目，观点明确，论述有理有据。
引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题习惯．能够在综合的情境中，找到合适的研究对象，构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题。
总
结
三、课堂小结
（1）回顾了空间点、直线、平面的位置关系，建立知识网络，并加强了对基本概念的理解和应用；
（2）平行关系的证明中，线线平行为基础，梳理好常用的证明方法，灵活运用；
（3）解决问题时注重“转化思想”．
梳理本节课所学知识，体会立体几何的研究内容、思路和方法.深化理解理清本节的重点难点。
作业
四、布置作业
一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，在木块表面应该怎样画线？
巩固平行关系的应用