2023-2024学年江苏省常州市九年级上学期期末模拟（一）数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市九年级上学期期末模拟（一）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由原方程得，
得，
得，
故选：D．
3. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 35，37B. 15，15C. 35，35D. 15，35
【答案】C
【解析】将30位女生的鞋子尺码数按大小顺序排列得到这组数据的中位数为：35；通过表格得出鞋子35码的人数最多为15人，所以这组数据的众数为35．
故选C．
4. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ）
A. 内B. 上
C. 外D. 无法确定
【答案】A
【解析】∵的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且，
∴点P在内．
故选：A．
5. 如图所示，中，，DE分别交边于D，E两点，若，则与的面积比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
又∵，∴，∴，
故选C．
6. 如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，则是四边形的内接四边形，
∴，
∵经过圆心O，且，
∴垂直平分，
∴，
∴．
故选：B
7. 如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD（面积记为S1）变形为以点A为圆心，AD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A. S1＞S2B. S1＝S2
C. S1＜S2D. 无法确定
【答案】B
【解析】根据题意，将S1变形成S2,形状改变，面积没变，∴S1＝S2
故选B.
8. 如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，以点为圆心，以为半径画圆，作点关于轴的对称点，
∵，
∴，，
∵，点在上，且点为线段的中点，
∴，且点是的中点，
∴，
当取最大值时，的值也最大，即点三点共线时，有最大值，则的值最大，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 一元二次方程的解为___________．
【答案】，
【解析】∵，即：
∴，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
10. 学校要从甲、乙两名运动员中选出一名参加全市中学生比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为，甲的方差为，乙的方差为，则这10次测试成绩比较稳定的是________运动员．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】∵甲的方差为，乙的方差为，
∴乙比较稳定
故答案为：乙．
11. 将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为__________．
【答案】
【解析】设，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
即，，
∴，
∴，
∴与的周长比为：．
故答案为：．
12. 如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠BAC=45°，则折叠后重叠部分的面积为_____cm2．
【答案】
【解析】如图，作CH⊥AB于H．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AC=AB，
∵∠CAB=45°，∠AHC=90°，
∴∠CAH=∠HCA=45°，
∴AH=CH=1，AC=AB=，
∴S△ABC=•AB•CH=，
故答案为：．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有___个．
【答案】3
【解析】设AP为x，
∵AB=10，
∴PB=10﹣x
分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况：
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴，即
整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴，即
解得x=5
综上所述，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似
∴满足条件的点P有3个.
14. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为________米(结果保留根号).
【答案】
【解析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴，即
解得x=30+103．
∴河的宽度为（）米．
故答案为：
15. 如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．
【答案】
【解析】△ABC边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．
如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝．
16. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．
【答案】9
【解析】如图，连接AC，作交BC于E点，
，，
，设AE=3x，BE=4x，
，则，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又，CE=BC-BE=4，
，
作交AD于F点，
，，
，==，
又，同理可得DF=3，CF=4，
，AD=AF+DF=9．
三、计算（每题8分，共16分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
∴或，∴，．
18. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
四、作图题（本题8分）
19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1正方形，我们把以格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中就是格点三角形，请建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．
（1）把以点O为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△A1B1C1（与在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是，，）；
（2）利用本题方格纸标出外接圆的圆心P，P点坐标是 ；
（3）在（2）中的条件下，中劣弧的长度为 ．
解：（1）如图，为所求；
（2）如图，点为所作，
由图可知，，，
则，
∴为等腰直角三角形，则为外接圆的直径，其中点为圆心，
由图可知，；
（3）由（1）可知，，，
∴劣弧长度．
五、解答题（共44分，其中第20、21题各6分，第22、23、24、25各8分）
20. 常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点．
（1）在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ；
（2）请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）
解：（1）∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况
∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是；
（2）列表如下：
∴共有6种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种，
∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为．
21. 常州奥体中心（又称常州鸟巢）举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张500元，那么36000张门票可以全部售出；如果票价每增加10元，那么售出的门票将会减少600张．要使门票收入达到18150000元，票价应定为多少元？
解：设票价上涨了x元，，
解得：．
答：票价应定为550元．
22. 小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！
解：设，
∵将如图所示矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，
∴，，
∴，
∵还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，
∴，，
∴，
．
23. 如图，以AB边为直径的经过点P，C是上一点，连接交AB于点E，且，．
（1）证明：是的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，已知，求的值．
解：（1）连接，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，且过半径外端P,
∴是的切线．
（2）连接，
∵AB是的直径，
∴，
又∵C为弧AB的中点，
∴，，
∴，
∵，
，
∵，，
∴，
,
．
24. 阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．
小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的度数为 ，的长为 ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．
解：∵CE∥AB，
∴，
∴，
∴，
又∵CE∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：75°，3；
如图，过点D作于点F，
∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，，
在中，，
∴，∴，
在中，，
∴， ，
∴， ，
∴．
25. 如图，已知．动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动；动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当点运动到时，它们都停止运动．
（1）若为线段中点，以为圆心，为半径的圆与直线相切时，求的值；
（2）若是以为圆心，为半径的圆，在点运动过程时，当直线与相交时，求的取值范围．
解：（1）以为圆心，为半径的圆与直线相切时，，如图所示，
∴点在线段上，，
∵点，点，
∴，，
∵为中点，
，
∴且，
∴，
∴，
∵点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动，运动的时间为秒，
∴，∴，∴；
（2）已知点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动，动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动，运动的时间为秒，
∴，动直线的路程为,
①点在上，如图1，当直线在右侧与圆相切时，
∴，
解得；
如图2，当直线在左侧与圆相切时，
∴，
解得；
当时，直线与相交；
②点运动到上，如图3，当直线与左侧与圆相切时，则，延长交AB于点，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
解得；
当时，直线与相交．
综上所述：当，时，直线与相交．码号
33
34
35
36
37
人数
7
6
15
1
1
A
B
C
A
(B，A)
(C，A)
B
(A，B)
(C，B)
C
(A，C)
(B，C)