高考数学一轮复习课时质量评价48双曲线含答案

课时质量评价(四十八)

A组　全考点巩固练

1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．－＝1(x≥)   B．－＝1(x≤－)

C．＋＝1(x≥)   D．＋＝1(x≤－)

A　解析：设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)．

2．已知双曲线C：－＝1(b＞0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)

A．4   B．8 

C．16   D．32

C　解析：由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，

所以|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，所以|AB|＝16．故选C．

3．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1   B．－＝1

C．－＝1   D．－＝1

D　解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，

所以⇒

所以xy＝·＝⇒b2＝12，故双曲线的方程为－＝1．故选D．

4．(2020·新课标Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是(　　)

A．   B．3 

C．   D．2

B　解析：由题意可得a＝1，b＝，c＝2，

所以|F1F2|＝2c＝4．

因为|OP|＝2，

所以|OP|＝|F1F2|，所以△PF1F2为直角三角形，

所以PF1⊥PF2，

所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16．

因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，

所以|PF1|·|PF2|＝6，

所以△PF1F2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝3．故选B．

5．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为，则该双曲线的离心率为(　　)

A．   B． 

C．   D．2

D　解析：不妨设点P在第一象限，如图，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，

所以＝＝，所以＝2．(当PF1＝F1F2时不成立)

6．(多选题)已知双曲线E：－＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．双曲线E的焦点在x轴上

B．m＝

C．双曲线E的实轴长为6

D．双曲线E的离心率为

AD　解析：由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；根据题意得＝＝，所以m＝36，故B错误；双曲线E的实轴长为2＝12，故C错误；双曲线E的离心率e＝＝＝，故D正确．故选AD．

7．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．

2　解析：如图，A(a,0)．

由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，

则kAB＝＝3，即b2＝3ac－3a2．

又因为c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，

所以e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2．

8．(2021·济南模拟)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是________．

或2　解析：设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，所以k＝±，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y＝x．

故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：

①当双曲线的焦点在x轴上时，有＝，即a＝b，

所以e＝＝＝；

②当双曲线的焦点在y轴上时，有＝，即a＝b，

所以e＝＝＝2．

所以双曲线C的离心率为或2．

9．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0)，实轴长为4．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知得a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，

得b2＝4，所以双曲线C的标准方程为－＝1．

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与－＝1联立，得(1－3k2)x2－12kx－36＝0．

由题意知

解得＜k＜1．

所以当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．

B组　新高考培优练

10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)

A．8   B．9 

C．10   D．11

B　解析：由题意知2a＝6，则a＝3，又由＝得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号．故选B．

11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点落在直线y＝x－2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1   B．－＝1

C．x2－＝1   D．－y2＝1

D　解析：依题意得，直线y＝x－2与x轴的交点(2,0)是双曲线的一个焦点，于是有a2＋b2＝4．又双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝1，因此有a2＝3，故双曲线的方程为－y2＝1．

12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1,2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

C　解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1,2]，所以1＜≤2，所以1＜≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜≤3，所以≥，所以≥．－＝1(a＞0，b＞0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝x，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝≥．又α∈，所以α∈．

13．(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)

A．4   B．8 

C．16   D．32

B　解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，

所以S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，

所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16．

当且仅当a＝b＝2时，等号成立．

所以c2的最小值为16，所以c的最小值为4，

所以C的焦距的最小值为2×4＝8．

14．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2分别为C的左、右焦点，A为双曲线上一点．若|F1A|＝2|F2A|，则cos  ∠AF2F1＝________．

　解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a．又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，

而c2＝5a2，即2c＝2a，

所以cos  ∠AF2F1＝＝＝．

15．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________．

3　解析：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°．又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)．

由得

所以M，所以|OM|＝＝，

所以|MN|＝|OM|＝3．

16．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7．

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos  ∠F1PF2的值．

解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

双曲线方程为－＝1(m＞0，n＞0)，

则解得则b＝6，n＝2．

故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1．

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4．

又|F1F2|＝2，

所以cos  ∠F1PF2＝

＝＝．