2024年数学高考一轮复习平面向量的应用试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习平面向量的应用试卷，共25页。试卷主要包含了夹角，最值，平面向量与四心，平面向量与三角函数，平面向量证明线段垂直，向量在物理上的应用等内容，欢迎下载使用。

考点一 夹角
【例1-1】（2023·江苏）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，
当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，
故选：A
【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，
过作的垂线，垂足为，
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为，
又因为，所以，
因为，所以，即的取值范围为．
故选：D.

【一隅三反】
1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .

【答案】
【解析】设，，则，
，又，，
所以
.
故答案为：
2．（2023春·湖南怀化）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【答案】/
【解析】
由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，
所以，.
又因为，
所以
，
,
,
所以.
故答案为：
3．（2023秋·山东枣庄）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．

【答案】
【解析】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
考点二 最值
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A．B．-1
C．D．2
【答案】A
【解析】由题意，，，
，所以，
所以，即平分，
由可得
，
所以当时，有最小值为.
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为三角形中，，
所以是边长为2的等边三角形，则
以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，

则，设，则，
故，
显然当时，取得最小值，
故选：B.
2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，

不妨令，因为与的夹角为
所以，所以，
设，则，，
由，所以，
即，即，
即点表示以为圆心，为半径的圆，又
所以；
故选：A
3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】D
【解析】由，可得，
设，
可得
，所以，
因为，所以，
以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，
设，且，则，，，
当时，.
故选：D.

考点三 平面向量与四心
【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，，
则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△所在的平面内，则以下说法正确的是（ ）
A．已知平面向量满足，且，则△是等边三角形
B．若，则点O为△的重心
C．若，则点O为△的外心；
D．若，则点O为△的垂心
【答案】ACD
【解析】A：由知：是△的外心，若是的中点，则，又，即，故共线且，易知是△的内心，综上△的内外心重合，即△是等边三角形，正确.
B：由且、是在、上的单位向量，即有，故是的平分线，同理是的平分线，所以O为△的内心，错误；
C：若分别为的中点，则，又，即，故，同理，又，即，故，所以为△的外心，正确；
D：由，知：，而，易知，同理可证、，即O为△的垂心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设的中点为D，则，

即三点共线，则，
设为的中点，同理可得，
故O为的重心，A正确；
对于B，若，结合，
可知，B正确；
对于C，，，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则,
同理，则，
即，
同理，

故，同理，
又，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，
则，
故，即，
同理，
则
，
同理，
故
，
又，可得，C正确；
对于D，中，，，则，
又，故，
则，
故，D错误，
故选：ABC
2．（2023春·湖北武汉）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．已知点在所在平面内，满足，则是的重心
C．已知点在所在平面内，满足，则点的轨迹一定经过的内心
D．若平面向量，共线，且，满足，则为5或1
【答案】ACD
【解析】对于A，∵，，与的夹角为锐角，∴，
且（当时与的夹角为），所以且，故A项正确；
对于B，由知，
故即，即所以点在边上的高所在直线上，
同理可知，在、边的高所在直线上，则为垂心,故B项错误；
对于C，因为点满足，所以点在的内角平分线上，故C项正确；
对于D，由知，，又平面向量，共线，
故分两种情形，一是夹角为时，求得的值为5，
另一种情形夹角为时求得的值为1．故D项正确．
故选：ACD．
3．（2023春·广东佛山）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；
对于B选项，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B错；
对于C选项，若为的内心，，则，
又（为内切圆半径），
所以，，故，C对；
对于D选项，如下图所示，
因为为的重心，延长交于点，则为的中点，
所以，，，且，，
所以，，由“奔驰定理”可得，D对.
故选：ACD.
考点四 平面向量与三角函数
【例4-1】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）在中，，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据正弦定理得，即，
，
，
，，所以，
，
即的取值范围．
故答案为：．
【例4-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，与交于点．

(1)设，，试用，表示；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由余弦定理有：
，
即，
即，解得（负值舍去）．
．
则在中，，
所以，．
即．，
．即．
（2）由（1）知，，在中，由余弦定理有：
，
所以．
则在中，．
2．（2023春·吉林长春）的内角的对边分别为，且．
(1)求A；
(2)若，三角形面积，求边上的中线的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
又，则，
化简得．
又，所以，则．
因为，所以．
（2）由得，
法一：由得
边上的中线的长为．
法二：由余弦定理得：，
由，得，
解得，，即边上的中线的长为．
3．（2023春·北京）在中，D为边AC上一点，满足，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由及正弦定理，
得，
所以，
而，所以，
由，得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
考点五 平面向量证明线段垂直
【例5】（2023·云南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，
∵，，，
∴，则由重心坐标公式，得；
（2）．
易知的外心F在y轴上，可设为．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
【一隅三反】
1．（2023春·陕西西安）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【解析】（1）.
（2），
，.
2．（2023春·上海浦东新）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），由题意得，
所以．
（2）由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线，点到直线的距离为，若点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与交于两点，设，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设点，则，
由得：，两边平方整理得，
则所求曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立方程，消去并整理得，
因为直线与交于两点，故，此时，
所以，而.
又，
所以
所以
考点六 向量在物理上的应用
【例6】（2023春·广东清远）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/hB．km/h
C．km/hD．km/h
【答案】B
【解析】如图所示：

，，
，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，
则有所以有
，
故选：B.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
【答案】D
【解析】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
【答案】C
【解析】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
3．（2023广东）（多选）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
【答案】BD
【解析】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.