2024年数学高考一轮复习平面向量的数量积试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习平面向量的数量积试卷，共14页。试卷主要包含了定义，范围等内容，欢迎下载使用。

一．向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝，eq \(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．
2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角
二．向量的数量积
已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量||·||·cs θ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cs θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
三．投影向量
如图，在平面内任取一点O，作OM＝，ON＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝
四．向量数量积的运算律
·＝·.
(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．
(＋)·＝·＋·．
五．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ
一．求非零向量，的数量积的3种方法
二．求平面向量模的2种方法
三．求平面向量夹角的2种方法
考点一 平面向量的数量积运算
【例1-1】（2023·江西景德镇·统考三模）若向量与向量的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
，，
.
故选：B.
【例1-2】．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．10B．C．14D．
【答案】B
【解析】，故.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量，，则（ ）
A．B．C．40D．46
【答案】D
【解析】因为，
所以．故选：D
2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）平面向量，，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设与的夹角为，
则，即，解得，
因为，所以.故选：D
3．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知，，则的值为（ ）．
A．B．3C．D．2
【答案】A
【解析】由得，.
，∴．
故选：A.
4．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设向量，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，，
所以，又，
所以.故选：D.
考点二 平面向量数量积的应用
【例2-1】（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量，，且在方向上的投影数量是，则 .
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为在方向上的投影数量是，
所以，即，显然，即，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：
【例2-2】（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知点，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，，则，，，
，则在上的投影向量为
.故选：C
【例2-3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B
【例2-4】（2023·上海嘉定·校考三模）已知，与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 .
【答案】
【解析】设，因为，与垂直，所以，即，
又，所以，即，解得或，
因为与的夹角是钝角，所以，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
【例2-5】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知向量，，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】由向量，，得，
则，，，
因此，而，所以.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量，，且在方向上的投影是，则 .
【答案】
【解析】依题意，（其中），解得.故答案为：
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知，则在上的投影为 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，，
所以，，，
设向量与的夹角为，，
那么在上的投影为
|故答案为：.
3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）若向量，，且，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】将两边平方可得，又，解得；
所以，又，
则与的夹角的余弦值为，
则与的夹角为.
故答案为：
4．（2023春·江苏无锡）（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．设向量，，若，共线，则
B．已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
【答案】ACD
【解析】对于A，由共线，则，解得，故A正确；
对于B，由向量，，则，
设，则，由是线段的三等分点，则或，
可得或，解得或，故B错误；
对于C，设与的夹角为，
在方向上的投影向量，
其坐标为，故C正确；
对于D，，
设与的夹角为，由，
则，
当时，取得最大值为，故D正确.
故选：ACD.
考点三 平面向量的综合运用
【例3-1】（2023秋·江苏南通·高三校考开学考试）（多选）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若是中线，则
C．若是角平分线，则
D．若，则是线段的三等分点
【答案】BC
【解析】对于A，在中，，，，
由余弦定理得，
又，，故A错误；
对于B：若是中线，，即，
，故B正确；
对于：若是角平分线，则，
即，解得，故C正确；
对于D：若为线段的三等分点，
则或，
即或，
，或，
或，故D错误．
故选：BC．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面非零向量满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】设非零向量，的夹角为.
，所以，
由两边平方得：，
，
，
即，
即，
，，即当时，取得最小值，最小值为8.
故选：C．
【例3-3】（2023·江西九江·统考一模）已知、为单位向量，则向量与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
，
则，
令，因为，所以，
，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以向量与夹角的最大值为．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）正六边形的边长是2，则（ ）
A．B．C．D．12
【答案】D
【解析】为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
故.
故选：D
2．（2023秋·山东临沂·高三校考阶段练习）在中，已知向量，，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】由向量，，
可得，，
且，
所以.
故选：C.
3．（2024秋·贵州·高三统考开学考试）设为的外心，，，则 ．
【答案】
【【解析】如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
则在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，
因为为的外心，所以
，，
，，
所以．
故答案为：.

4．（2023·江西九江·统考一模）已知、为单位向量，则向量与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
，
则，
令，因为，所以，
，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以向量与夹角的最大值为．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，且，则函数的最小值为 .
【答案】3
【解析】∵，∴，∴，
则，由于，则，
故，
当且仅当即时取等号，
∴函数的最小值为3.
故答案为：3
6．（2023·福建三明·统考三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
【答案】（满足或的其中一值）
【解析】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故答案为：（满足或的其中一值）.
结论
几何表示
坐标表示
模
||＝
||＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
·＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|·|≤||||
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
方法
适用范围
定义法
已知或可求两个向量的模和夹角
基底法
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法
①已知或可求两个向量的坐标；
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
公式法
利用||＝及(±)2＝||2±2·＋||2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
定义法
当，是非坐标形式，求与的夹角θ时，需求出·及||，||或得出它们之间的关系，由cs θ＝求得
坐标法
若已知＝(x1，y1)与＝(x2，y2)，〈，〉∈[0，π]则cs 〈，〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))