2024年数学高考一轮复习抛物线试卷版

这是一份2024年数学高考一轮复习抛物线试卷版，共34页。

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令抛物线方程为且，
由题设在抛物线上，则，得，
又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米.
故选：A
2．（2023春·河北廊坊 ）已知抛物线，过点的直线l交C于A，B两点，则直线，（O为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A．B．8C．4D．
【答案】A
【解析】设l的方程为，联立，得，则，
所以，所以．
故选：A
3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】令，则，故，所以，
所以，故准线为，则.
故选：B
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【解析】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，
则，两式相减得，整理得，
因为MN的中点为，则，
所以，即直线l的斜率为3．
故选：C．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】
如图，设点，
，所以，
由题意，所以，
得，或（舍去），
所以，
，
故选：B
7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线的焦点为，准线为为上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线在点处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，故，故A正确；
对于B，当时，，由可得，所以，所以抛物线在点处的切线方程为，
整理得：，故B错误；
对于C，如图，过点作准线于点，则由抛物线定义可知：，
则，当三点共线时，和最小，最小值为，故C正确；

对于D，由题意得：，连接并延长，交抛物线于点，此点即取最大值的点，此时，
其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：
，故的最大值为，故D正确.

故选：ACD
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】ABC
【解析】
如上图所示，若A在抛物线内，易知，抛物线的准线为，
过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于，
由抛物线的定义知，当且仅当A、P、B三点共线时，
即重合时取得最小值，，
又A在抛物线内，故，
所以，即；
若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则，
当且仅当重合时取得最小值，此时即.

综上.
故选：ABC
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】抛物线方程为，设直线的方程，代入得，设，则，
对A：显然不关于轴对称，故，A错误；
对B： ，所以，B正确；
对C：，C错误；
对D：，D正确.
故选：BD
10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
【答案】
【解析】抛物线焦点为，点在准线上，
在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，

令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，
令，则，解得，
所以点坐标为.
故答案为：
11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为 .
【答案】或.
【解析】由题意得，设，
则由抛物线的定义得，
则，所以圆心的横坐标为，其半径也为，
所以圆与y轴相切，
又因为以MF为直径的圆过点，
所以切点为，
所以圆心为，则，
又因为点M在抛物线上，
所以，即，
解得或，
所以抛物线方程为：或.
故答案为：或.
12．（2023春·广东广州 ）已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为 .
【答案】
【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
过点作轴交轴于点，
由抛物线的定义可知点到轴的距离即为，
圆的圆心坐标为，半径为，
故点到轴的距离与点到点的距离之和，
根据圆的性质可知点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为，
当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号.

故答案为：.
13．（2023·福建）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，
而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题可知， 过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点.
由，得，所以，如图所示

则动点到轴的距离为
所以,
当且仅当三点共线时，有最小值，即,( 为点到直线的距离).
所以到直线的距离为
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为 ．
【答案】4
【解析】因为在上，故，
A到准线的距离为，
故A到焦点F的距离为4.
故答案为：4
16．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为 ．
【答案】2
【解析】因为在抛物线C：上，
所以，解得，
故抛物线C的准线为，
所以点A到抛物线C的准线的距离为.
故答案为：.
17．（2022秋·陕西渭南 ）设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 ．
【答案】10
【解析】设，则，
由抛物线方程可知，
由线段的中点E到y轴的距离为3得，，
∴
故答案为：.
18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【解析】易知，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，则，
故，，
又，即，即，
所以，，可得，，
解得.
此时，
又因为原点到直线的距离为，
故的面积为.
故答案为：.
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【解析】设，代入抛物线，得，
则①，
因为两点A，B关于点对称，则，
所以由①得，
直线AB的斜率为2.
则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
【答案】3
【解析】由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，
设，，则，
故线段的中点的横坐标为代入直线，得，
∴线段的中点到轴的距离是.
故答案为：3.
21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为 .
【答案】
【解析】作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，
连接、，过作于
，设，则，
由点、分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
，，
因此，中，，得
所以，直线的倾斜角，
得直线的斜率．
直线的方程为，代入，可得，
或，
为的中点，，
∴到轴的距离为，
故答案为：

22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，
所以，即.
故答案为：
23．（2023秋· 课时练习）已知抛物线的焦点为，则 ，若点在抛物线上，点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
可得，即，抛物线方程为，
则抛物线的准线方程为，
过作直线的垂线，垂足为，
，
则当三点共线时，取得最小值，
且最小值为（即到准线的距离）.
故答案为：；

24．（2023·江苏 ）设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.
显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.

（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为4.
25．（2023·江苏 ）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.
【答案】最小值为,
【解析】由题意可知，动点到的距离与它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以点为焦点的抛物线，抛物线方程为，
由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，

过点作垂直于准线于点，
于是.
当，，三点共线时，取得最小值，即取最小值，
这时的纵坐标为2，可设，代入抛物线方程得，即.
26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
【答案】答案见解析
【解析】由，得.
当时，方程化为一次方程，
该方程只有一解，原方程组只有一组解，
∴直线与抛物线只有一个公共点；
当时，二次方程的判别式，
当时，得，，
∴当或时，直线与抛物线有两个公共点；
由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由得或，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；
当或时，直线与抛物线有两个公共点；
当或时，直线与抛物线无公共点．
27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设圆心，半径为，
因为圆心为C的动圆过点，所以，
因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，
所以，即，所以曲线E是抛物线.
（2）证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，

因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.
1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，，的最小值为5．若直线与抛物线交于点N，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，抛物线的焦点，准线，
过点作于，过作于，交抛物线于，连接，如图，
则，当且仅当点与重合时取等号，
所以的最小值为，解得，即有，
由得点，因此，
在中，由余弦定理得，则，
令外接圆半径为，由正弦定理得，则，
所以外接圆的面积为.
故选：D
2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）
A．的最小值为3
B．C的准线方程为
C．
D．当时，点P到直线l的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】如图：对于A,B，由抛物线的焦点为，
则，即，其准线方程为，设点到准线的距离为，
则，设点到准线的距离为，
易知，故选项A正确，B正确；
由题意可知，过点的直线的方程可设为
，代入抛物线,可得，
，则直线始终与抛物线图象有两个交点，
设,则
，当时，取到最小值，故选项C错误；
由C可得直线的方程为，由，可知到直线的距离等于到直线的距离，
点到直线的距离，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，单调递增，由当时，，当时,，
则当时，，所以，故选项D正确.
故选：ABD.

3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若，则直线l恒过点
【答案】BCD
【解析】设直线，联立方程，得
设，，则
选项A，若直线l过焦点F，则
，，
又，
，，三点共线，A错；

选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：
，
又，，所以B对；
选项C，设与抛物线相切的切线方程为，
则化简得．
由，可得，即，
所以与抛物线相切的切线方程为，
将点坐标代入方程可得，则，
所以过的切线方程为．
同理，过的切线方程为，
联立，得：
抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对；

选项D，因为，，
将韦达定理代入得：.
所以直线l恒过点，所以D对.
故选：BCD.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，，直线左边的抛物线上存在一点，则（ ）
A．B．
C．若点，则D．当的面积最大时，面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线的方程为，
联立抛物线方程，消去x化简得：，
∴，代入抛物线方程得：，A正确；
对于B，∵，解得，所以，B错误；
对于C：分别做、于、点，弦的中点于，
所以，，，
，所以，所以以为直径的圆与准线相切，
由选项B得，时，，得，时，，得，所以圆心，
所以与准线的切点为，所以点在圆外，所以是锐角，即，C正确；

对于D：直线方程为，斜率为，
当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，
当时，，所以，设，所以，得，所以点，此时，所以面积的最大值为，当斜率为时，同理求得面积为，D正确.

故选：ACD.
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线的准线方程为，圆，直线与交于两点，与交于两点在第一象限），为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．为定值
【答案】BD
【解析】对于A，因为抛物线的准线方程为，所以，得，所以A错误，
对于B，设，
由，得，
则，
所以
，
因为直线恒过圆心，所以，所以，
所以，所以B正确，
对于C，因为直线过抛物线的焦点，所以，
因为，，所以，解得，所以C错误，
对于D，因为直线过抛物线的焦点，
所以，
所以为定值，所以D正确，
故选：BD

6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段与x轴交于点M，连接并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M为C的焦点，则直线平行于x轴
B．若点M为C的焦点，则线段的长度的最小值为4
C．若，则点M为C的焦点
D．若与的面积之积为定值，则点M为C的焦点
【答案】AB
【解析】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为，
设，，因为点M在线段上，所以，

联立直线和抛物线方程得，则，
所以，，
直线的方程为，得，
又因为，故，
对于A，若为焦点，则，
因为，所以，A选项正确；
对于B，若为焦点，则，，
则，B选项正确；
对于C，若，有，即，
所以，解得或0（舍去），C选项错误；
对于D，，只需M横坐标为定值即可，故D错误.
故选：AB
7．（2023秋·河北唐山 ）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时， ．
【答案】16
【解析】由题可得抛物线焦点为，准线为.设，
则由抛物线定义可得，
又由题可得中点的纵坐标为，则.
则
.
则，当且仅当取等号，则为等边三角形，即直线AD斜率为或.
如图，设此时AD方程为，将其与抛物线联立有.
设D，则由韦达定理有.
再由抛物线定义有.
故答案为：.

8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，如图所示

则动点到轴的距离为
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，
所以到直线的距离为，
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点为抛物线的焦点，点，，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设，则，，
又，故，
整理得，解得.
所以抛物线的标准方程为；
（2）若直线不过点，如图，

设，，，，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
由直线过定点，可得同理直线的方程为，
过焦点，可得，
的方程，过焦点，可得.
直线的方程为，
由，得，
所以，即.
又因为，所以.
令，解得，故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，
即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设，则，所以抛物线方程为.
（2）令l：，，，
联立得：，则，，

，
解得或，由得：，故，
∴l：过定点.
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【解析】（1）依题意得，物线的焦点坐标为，设直线的方程为，
而圆的圆心，半径，由直线与圆相切，
得，又，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知抛物线：的准线为，设，
由，求导得，设，则以为切点的切线的斜率为，
于是切线的方程为，
令，得，即交y轴于点，
因此，，
则，设N点坐标为，从而，
所以点N在定直线上.

12．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线经过定点．
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，圆的圆心，
而经过的直线被圆截得的线段长度，其中为圆心到直线的距离，
则，所以，
显然，的最大值为焦点到圆心的距离，即，
所以，又，解得或（舍），
故抛物线的方程为．
（2）设点，，，由，即，得，
则点处的切线方程为，
直线的方程为：，
则点，同理点，

可得：
，
直线的方程为：，
注意到点，满足，
直线的方程为．
注意令，则
，
直线经过定点．
13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，3
【解析】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，
由题得，所以，
因为，所以△是等边三角形，
因为是的中点，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知抛物线的方程是，
设直线的方程为，，
因为，所以，
即，即.
又，所以，故.
联立，消去，得，其中，
则，
所以，所以.
设点到直线和直线的距离分别为，
则由得，
所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.