2022年高考数学一轮《抛物线》考点复习（含答案）

这是一份2022年高考数学一轮《抛物线》考点复习（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年高考数学一轮《抛物线》考点复习一、选择题1.抛物线y=2x2的准线方程是(　　)A.x=        B.x=－      C.y=        D.y=－2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A.－           B.－1         C.－            D.－3.若点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)A.y2=x          B.y2=x        C.y2=2x          D.y2=x4.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　)A.x2=8y            B.x2=4y       C.x2=2y            D.x2=y5.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=(　　)A.        B.        C.3        D.46.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于(　　)A.        B.      C.        D.7.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为(　　)A.        B.2       C.3        D.28.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为(　　)A.        B.1        C.        D.29.已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为(　　)A.            B.2        C.4            D.8 10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|等于(　　)A.            B.          C.3            D.211.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A(,)，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)A.            B.        C.2            D.312.已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为(　　)A.5            B.4        C.3            D.2二              、填空题13.在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.14.若抛物线y2=4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________.15.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________.16.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________.三、解答题17.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.        18.过抛物线C：y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线.             19.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.               20.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2=－p2，x1x2=；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.           21.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.            22.已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.              23.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
0.答案解析1.答案为：D；解析：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其准线方程为y=－.2.答案为：C；解析：由已知，得准线方程为x=－2，所以F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k==－.3.答案为：A；解析：根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2=4，故AB=4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)代入抛物线方程得4=4p，解得p=，故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.4.答案为：C；解析：由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2=2y.5.答案为：D；解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.6.答案为：B；解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF==－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.7.答案为：B；解析：∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.8.答案为：B；解析：由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，因为|NF|=|MN|，所以cos∠NMF===，所以sin∠NMF==，所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1，故选B.9.答案为：B；解析：令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为(5a-，4a)，代入y2=2x中，解得a=或a=(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.10.答案为：C；解析：因为=4，所以||=4||，所以=.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以==，所以|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.11.答案为：C；解析：把点A(,)代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1，0)，设M，则=，=(－1－，－yM)，由=λ，得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.12.答案为：C；解析：如图，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d=|PF|，将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2=4，圆心为C(－1，4)，半径为2，则|PQ|＋d=|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号).所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|=3，故选C.13.答案为：y=－.解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5=0，把焦点坐标(0,)代入可求得p=，所以准线方程为y=－.14.答案为：4.解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x=－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d=≥，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1=4.15.答案为：－2.解析：∵双曲线－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2.∵点A在第一象限，∴A(1，2)，∴直线AF的斜率为=－2.16.答案为：4.解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·=－4，即x1x2＋y1y2=－4得yy＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4，当y1=2，y2=－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.17.解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p=0，则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①(1)由x2=2py得y′=，则A，B处的切线斜率的乘积为=－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－=－1，∴p=2.(2)易得直线AN：y－y1=(x－x1)，直线BN：y－y2=(x－x2)，联立，得结合①式，解得即N(pk，－1).|AB|=|x2－x1|==，点N到直线AB的距离d==，则S△ABN=·|AB|·d=≥2，当k=0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2=4，∴p=2，故抛物线C的方程为x2=4y.18.解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y=k(x－1)，代入抛物线方程y2=4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2=16(k2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2=，x1x2=1，由抛物线的定义知|AB|=x1＋x2＋2=8，∴=6，∴k2=1，即k=±1，∴直线l的方程为y=±(x－1).(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，又E(－1,0)，∴kEB－kED=－=，y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)=y2＋y1=(y1＋y2)＋(y1＋y2)=(y1＋y2).由(1)知x1x2=1，∴(y1y2)2=16x1x2=16，又y1与y2异号，∴y1y2=－4，即＋1=0，∴kEB=kED，又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线.19.解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p=0，则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①(1)由x2=2py得y′=，则A，B处的切线斜率的乘积为=－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－=－1，∴p=2.(2)易得直线AN：y－y1=(x－x1)，直线BN：y－y2=(x－x2)，联立，得结合①式，解得即N(pk，－1).|AB|=|x2－x1|==，点N到直线AB的距离d==，则S△ABN=·|AB|·d=≥2，当k=0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2=4，∴p=2，故抛物线C的方程为x2=4y.20.证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x=my＋，代入y2=2px，得y2=2p，即y2－2pmy－p2=0.(*)因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=－p2.因为y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2===.(2)＋=＋=.因为x1x2=，x1＋x2=|AB|－p，代入上式，得＋==(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|=(|AC|＋|BD|)=(|AF|＋|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.21.解：(1)当直线AB垂直于x轴时，不妨取y1=2，y2=－2，所以y1y2=－8(定值).当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k(x－2)，由得ky2－4y－8k=0，所以y1y2=－8.综上可得，y1y2=－8为定值.(2)存在.理由如下：设存在直线l：x=a满足条件，则AC的中点E(，)，|AC|=，因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==，点E到直线x=a的距离d=|－a|，所以所截弦长为2=2==，当1－a=0，即a=1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x=1.22.解：(1)把P(1，1)代入y2=2px得p=，所以抛物线C：y2=x，所以焦点坐标为(,0)，准线：x=－.(2)证明：设l：y=kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=x，由题知A(x1，x1)，B，由消去y得k2x2＋(k－1)x＋=0，所以x1＋x2=，x1·x2=.所以y1＋=kx1＋＋=2kx1＋，由x1＋x2=，x1x2=，上式=2kx1＋=2kx1＋(1－k)·2x1=2x1，所以A为线段BM的中点.23.解：(1)可设AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p=0，显然方程有两个不等实根，则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①又x2=2py，得y′=，则A，B处的切线斜率乘积为=－=－1，则有p=2.(2)设切线AN为y=x＋b，又切点A在抛物线y=上，∴y1=，∴b=－=－，∴yAN=x－.同理yBN=x－.又∵N在yAN和yBN上，∴解得N.∴N(pk，－1).|AB|=|x2－x1|=·，点N到直线AB的距离d==，S△ABN=·|AB|·d=≥2，∴2=4，∴p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.