2024年数学高考一轮复习二项式定理试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习二项式定理试卷，共14页。试卷主要包含了二项式定理，通项公式，二项式系数等内容，欢迎下载使用。

一．二项式定理
1.二项式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn（n∈N*）
①项数为n＋1
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2.通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1项
①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；
②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；
③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；
④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.
3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，…，Cnn.
二.二项式系数的性质
一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
③把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
三.求二项式系数最大项
1.如果n是偶数，那么中间一项第n2+1项的二项式系数最大；
2，如果n是奇数，那么中间两项第n+12项与第n+12+1项的二项式系数相等且最大.
四.求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak-1,Ak≥Ak+1,解出k.
求三项展开式中特定项（系数）的方法
方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解
方法二：两次利用二项展开式的通项求解
方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量
六．二项式定理应用
1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
考点一 二项式定理的展开式
【例1】（2023广西柳州）化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】．
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为( )
A．128B．129C．47D．0
【答案】A
【解析】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝
故选A.
2．（2023·重庆九龙坡）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
选B.
考点二 二项式指定项的系数
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．28B．56C．70D．112
【答案】A
【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含的项的二项式系数为，
故选：A.
【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）的展开式的常数项是（ ）
A．40B．-40C．20D．-20
【答案】D
【解析】二项式的通项公式为，
令，所以的展开式的常数项是，故选：D
【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．270B．240C．210D．180
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，
则原展开式中的系数为.
故选：A
【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．5B．C．10D．
【答案】A
【解析】由题设，，
∴当时，.
∴含项的二项式系数.
故选：A.
2．（2023·河南驻马店·统考二模）的展开式中的常数项是（ ）
A．－112B．－48C．48D．112
【答案】D
【解析】展开式的通项为．
令，得，则；
令，得，则；
故的展开式中的常数项是．
故选：D.
3．（2023·全国·高三对口高考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A．B．7C．D．
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，
所以，，
令，得，所以展开式中常数项是.故选：D
考点三 三项式指定项系数
【例3】（2023·全国·高三专题练习）的展开式中常数项是（ ）
A．-252B．-220C．220D．252
【答案】A
【解析】由，可得二项式的展开式通项为：
，令，解得，∴展开式的常数项为．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．10C．D．30
【答案】C
【解析】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为，
故展开式中的系数为.
故选：C.
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】因为，
设其展开式的通项公式为：，
令，得的通项公式为，
令，所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式的通项为 ， ,
令,则 或，或 ，
所以常数项为，
故答案为：
4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ．
【答案】2
【解析】表示有5个因式相乘，来源如下：
有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，
此时系数是，即，解得：
故答案为：.
考点四 二项式系数性质
【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160B．240C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以的展开式中二项式系数最大为，
即展开式的第4项，即.故选：C．
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．各项的二项式系数之和为1024
C．
D．各项的系数之和为1024
【答案】ABC
【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，选项A正确；
所以的展开式中二项式系数之和为，故选项B正确；
根据二项式定理知的通项式为，令得，所以的展开式中常数项为，所以，
解得：，故选项C正确；
令得，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误.
故选:ABC.
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为
【答案】
【解析】第四项和第八项的二项式系数相等,则，
故展开式中x的系数为，
故答案为：
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．
【答案】60
【解析】因为的二项展开式为：
所以它的第二项的系数为：
该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：，
由的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有：，
所以二项式为，由展开式通项为：，
令，所以展开式中的常数项为：.
故答案为：60.
考法五 系数最大项和系数和
【例5-1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 .
【答案】
【解析】设展开式的第项的系数最大，
则，解得，
所以系数最大的项为第或第项，
所以系数最大的项为：
，
.
故答案为：
【例5-2】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数（，）的定义域为，则（ ）
A．B．
C．D．被8整除余数为1
【答案】BCD
【解析】因为，
对于A：当时，，①，故A错误；
对于B：当时，，②，
①②得，解得，故B正确；
对于C：，
令得，故C正确；
对于D：，所以被整除余数为1，故D正确.
故选：BCD
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70B．56C．或D．
【答案】D
【解析】的展开式的通项公式为，，由二项式系数中，最大，此时该二项展开式中第5项的系数最大，∴的展开式中系数最大的项为，
故选：D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（ ）
A．项B．项C．项D．项
【答案】D
【解析】的展开式中前三项的二项式系数和为，
整理可得，且，解得，
的展开式通项为，
设展开式中第项的系数最大，则，
即，解得，
因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项.
故选：D.
3．（2023春·山东青岛）（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】A选项，根据二项展开式的通项，，A选项正确；
B选项，取代入等式，得到，B选项正确；
C选项，取代入等式，得到，
结合B选项，
两式相加得，故C选项错误；
D选项，根据二项展开式的通项，，令，即，
解得，又，故，即最大，D选项正确.
故选：ABD
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】令得：，所以选项A正确；
令得：，所以，所以选项B错误；
因为，
所以选项C正确；
，
两边对求导得：，
令得：，选项D错误；
故选：AC.
考法六 二项式定理的应用
【例6-1】（2023春·课时练习）设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A．B．2C．10D．11
【答案】C
【解析】
因为为奇数，则上式=.
所以除以13的余数是10.
故选：C.
【例6-2】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六
【答案】D
【解析】，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以4的余数为，
故经过天后是是星期六，
故选：D．
【例6-3】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习） （小数点后保留三位小数）．
【答案】1.172
【解析】，
由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推，
故.
故答案为：1.172.
2．（2023·辽宁丹东·统考一模）除以7所得余数为 ．
【答案】
【解析】，
其中各项均可被7整除，
只需判断除以7的余数即可，而，
所以余数为.
故答案为：
3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习） （精确到0.01）
【答案】30.84
【解析】原式
故答案为：30.84．