2024年数学高考一轮复习指数运算及指数函数试卷

这是一份2024年数学高考一轮复习指数运算及指数函数试卷，共21页。
一.根式
1.如果xn＝a，那么eq \a\vs4\al(x)叫做a的n次方根；
2.式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
3.(eq \r(n,a))n＝eq \a\vs4\al(a)．当n为奇数时，eq \r(n,an)＝eq \a\vs4\al(a)；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
三．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
指数幂运算原则
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
二．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
三．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
考法一 指数幂运算
【例1】（2023·贵州）化简求值
（1）
（2）．
(3)；
(4)
（5）已知：，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)(4)（5）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）
（4）
（5）因为，
所以，即，
所以，即，
所以.
【一隅三反】
1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)已知，求下列各式的值：
①；
②．
【答案】(1)(2)(3)89；(4)①；②.
【解析】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式；
（4）①∵，∴，
又由得，∴，所以；
②（法一）
，
（法二），
而，∴，
又由得，∴，所以.
2．（2023·云南）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；(4)．
【答案】(1)；(2)或；(3)或；(4).
【解析】（1）由，可得，
所以，所以，即，所以；
（2）由，可得，
所以，所以或，
由，可得，故，由，可得，即，所以，即，所以或；
（3）因为，所以原方程可化为，即，
两边取对数可得，即，所以或，
经检验或是原方程的解，所以或；
（4）由，可得，所以，
即，经检验满足题意，所以.
考法二 指数函数的三要素及定点
【例2-1】（2023·广东）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是_________．
【答案】①⑤
【解析】因为指数函数为且，故①⑤正确；
由幂函数定义知，是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；
对于⑧，当时，，不是指数函数.故答案为：①⑤.
【例2-2】（2023广东湛江）函数的定义域为________．
【答案】
【解析】由题设，即，所以，可得，
故函数定义域为.故答案为：
【例2-3】（2023·上海奉贤）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
【答案】9
【解析】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，.故答案为：9
【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当时，函数的值域是（ ）
B．C．D．
（2）（2023·辽宁丹东）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是，即所以函数的值域是.故选：C.
（2）依题意，令，则，
因为单调递减，且所以，所以.故选：A.
【例2-5】（1）（2023云南）函数恒过定点
（2）（2023·全国·高三专题练习）函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为__________.
【答案】（1）（2）
【解析】由题设，当，即时，，所以函数过定点.故选：B
（2）令，即，则，所以的图象恒过定点，
因为点在直线上，所以，又，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023春·山东滨州）函数的定义域为
【答案】【解析】由题意得，即，解得．
2．（2023·上海）已知函数是指数函数，求实数a的值 ．
【答案】4
【解析】因为函数是指数函数，所以，解得，即实数a的值为4.
3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．
【答案】③④
【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为，不是，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.
故答案为：③④.
4．（2023春·北京顺义）函数的定义域为___．
【答案】且
【解析】要使函数函数有意义，
需满足，解得且，
故函数的定义域为且，
故答案为：且
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式 .
【答案】
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，
当时，，
当时，，则，
所以当时，，所以.
6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.故答案为：.
7．（2023春·上海嘉定）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，；当时，.
因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.
8.（2023北京）函数且的图象恒过某定点，则此定点为
【答案】
【解析】令，得，所以函数且的图象恒过定点.
考法三 指数函数的单调性及综合运用
【例3-1】（2023春·河南周口）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】令，则在上单调递减，在上单调递增，
又在定义域上单调递减，所以的单调递增区间.故答案为：
【例3-2】（2023湖北）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，其图象开向上，对称轴为直线．
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，
又在上单调递增， ，解得．故选：C.
【例3-3】（1）（2023春·上海嘉定）不等式的解集为______．
（2022·海南·校联考模拟预测）不等式的解集为
【答案】（1）（2）
【解析】原式可化为，
因为为减函数，所以，即，解得或，
所以原不等式的解集为.故答案为：.
（2）构造函数，易知函数在上为单调递增函数．
因为不等式等价于，
又，所以，所以由函数的单调性知，即，
解得或，所以原不等式的解集为.
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
又函数在上单调递增，，所以所以，故选：C
【一隅三反】
1.（2023新疆）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由的图象向右平移1个单位，可得的图象，
因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为函数|在区间上是增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
2.（2022天津）求函数的单调区间 .
【答案】增区间为[-2,+∞)，减区间为(-∞,-2).
【解析】设t＝>0，又y＝t2－8t＋17=（t-4）2+1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x1
01；当x