备战2024年高考数学一轮复习3.3指数运算及指数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学一轮复习3.3指数运算及指数函数(精讲)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了指数运算，单调性，最值，指数式比较大小，解不等式等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 指数运算
【例1-1】（2022·江西）化简___.
【例1-2】（2022·江苏）化简：________．
【一隅三反】
1．（2022·河南） _____．
2．（2022·全国·高三专题练习）×0＋80.25×＋(×)6－=____________
3．（2021·江苏省）已知，则的值为___________．
考点二 单调性
【例2-1】（2021·安徽）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2021·北京市）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.
【例2-3】（2022·河南省）已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·辽宁沈阳）已知函数，则函数（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.
考点三 最值（值域）
【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
【例3-2】（2022·北京）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·河南）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
考点四 指数式比较大小
【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2022·江西·二模（理））设，则( )
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·河南洛阳）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏苏州）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考点五 解不等式
【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山东）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 定点
【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.
2．（2022·云南）函数恒过定点，则在点处的切线方程为_____.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值______________.
3.3 指数运算及指数函数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 指数运算
【例1-1】（2022·江西）化简___.
【答案】214
【解析】原式＝＋2－3－2＋1＝214.
故答案为：214.
【例1-2】（2022·江苏）化简：________．
【答案】
【解析】原式
故答案为：﹒
【一隅三反】
1．（2022·河南） _____．
【答案】
【解析】原式=
.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）×0＋80.25×＋(×)6－=____________
【答案】110
【解析】原式＝.故答案为：110
3．（2021·江苏省）已知，则的值为___________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：
考点二 单调性
【例2-1】（2021·安徽）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则原函数可化为，该函数在上单调递增，
又在R上单调递增，当时，，
故在上单调递增，故选：A.
【例2-2】（2021·北京市）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由的图象向右平移1个单位，可得的图象，
因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为函数|在区间上是增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
【例2-3】（2022·河南省）已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意的实数，且，都有成立，
所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．
因为，
令，，要使在上单调递减，
所以，在上单调递增．
另一方面，函数为减函数，
所以，，解得，所以实数a的取值范围是．故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·辽宁沈阳）已知函数，则函数（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】A
【解析】∵ ∴，∴ 函数为偶函数，
当时，，
∵ 函数在上单调递增，函数在上单调递减，
∴在上单调递增，即函数在上单调递增.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
【答案】A
【解析】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数在上是减函数，有，
函数在上是减函数，有，即，
并且满足：，即，解和，综上得，
所以a的取值范围为.故选：A
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，在上，单调递增，单调递增，即单调递增，符合题意；
当时，在内单调递增，符合题意；
当时，，
∴若，时，等号不成立，此时在内单调递增，符合题意；
若，时，若当且仅当时等号成立，此时在内单调递增，不符合题意.综上，有时，函数在内单调递增.故答案为：.
考点三 最值（值域）
【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B
【例3-2】（2022·北京）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数，
当时，由反比例函数的性质得：；
当时，由指数函数的性质得：
因为函数的值域为R，所以，解得 ，故选；D
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
又因为的最小值为2，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，
所以在上 最大值为，所以，故选：D.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出的图象，如图，
结合函数图象可知：
当时，，
当时，.
所以函数，而时，，
所以，
综上，，
故选：D
3．（2021·河南）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，且的值域为，所以，解得.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，
而，，令，则，因此，原函数化为：，
显然在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.故选：A
5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，即，解得，
经检验为奇函数，定义域为，符合题意.
联立，消去得到关于y的二次方程，
，
设，，则，
因为的中点的纵坐标为，所以，解得.
所以，所以的值域为.故选：B
考点四 指数式比较大小
【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，同时，所以.故选：A．
【例4-2】（2022·江西·二模（理））设，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，，，；
，
令，∴，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，∴，即，，
又，∴．故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·河南洛阳）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造，，，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，故在上单调递减，
所以，即，所以，即.故选：D
2．（2022·河南）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
，即，
所以，，，则，即A错误；
，，所以，，，，即BC都错误，D正确.故选：D.
3．（2022·江苏苏州）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又因，且，所以，即，
所以.故选：D.
考点五 解不等式
【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数定义域为R，，则函数是奇函数，是R上增函数，
，于是得，解得或，
所以所求不等式的解集是.故选：C
【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【解析】当时，则，，
当时，则，，
，所以为奇函数，
因为时为增函数，又为奇函数，
为上单调递增函数，
的图象如下，
由得，
所以，即在都成立，
即，解得.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为奇函数，所以，
，得所以，
任取，则，则，
所以，，则函数为上的增函数，由，解得.故选：A.
2．（2021·山东）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为，
由，
可得，
可知函数为奇函数，又由，
当时，函数和单调递增，
任取，则，，可得，即，
所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
由于函数在上连续，则函数在上的增函数，
由，有，
有，可得，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
有，解得．故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）设，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为R.
因为，
所以可化为：
令，即.
下面判断的单调性和奇偶性.
因为，所以为奇函数；
而，
因为在R上为增函数，
所以在R上单调递增.
所以可化为：，
即或，
解得：或.
所以原不等式的解集为.
故选：B
考点六 定点
【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【答案】
【解析】当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】∵恒过定点，
∴过定点
∴，即，
∴≥，
当且仅当即时等号成立，
∴所以的最小值为9，
故答案为：9.
2．（2022·云南）函数恒过定点，则在点处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】∵函数，
令，得，即定点，
又，∴，，
∴，，
∴在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值______________.
【答案】16
【解析】指数函数的定点为，
因为直线方程定点，
所以，即
则
当且仅当即时取得最小值.
故答案为：16