湖南省长沙县实验中学等多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省长沙县实验中学等多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共4页。试卷主要包含了 设锐角，，则， 已知点，，， 存在函数满足， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，.若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是关于的方程的一个虚根，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
4. 设锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，，.动点满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. 30D. 31
7. 存在函数满足：对任意都有（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. ，为奇函数B. 当时，单调递增
C. ，使得恰有一个极值点D. 当时，存在三个零点
10. 已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ）
A. 若，则点圆上B. 若，则点在双曲线上
C. 若，则点在抛物线上D. 若，则点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量，，则，则__________.
13. 已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________.
14. 已知函数在上单调递减，则最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积的最大值.
16. 如图，，分别为椭圆左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点.
（1）求的方程；
（2）过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程.
17. 如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面平面.
（1）证明：；
（2）若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为.
（1）若，，，求的值；
（2）定义数列满足：，，2，3，…，m.
（i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列；
（ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值.
19. 已知函数（，且）.
（1）当时，证明：为增函数；
（2）若存在两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）设的极大值为，求的取值范围.