2024-2025学年湖南省岳阳市高三上学期10月月考数学检测试题

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市高三上学期10月月考数学检测试题，共5页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 0B. C. D. 2
3. 已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A. B. C. 1D.
4. 已知角的终边上一点，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 若的展开式中的系数为，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 已知函数的图象关于对称，为偶函数，且．则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的图象由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为曲线，直线，若直线与曲线交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 使的最小正整数n为13D. 的最小值为
10. 已知为函数的一个零点，则（ ）
A. 的图象关于对称B. 的解集为
C. 时，D. 时，，则的最大值为4
11. 已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ）
A. 若，，则点到平面的距离为
B. 存使得四棱锥有外接球
C. 若，则棱锥体积的最大值为
D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________．
13. 曲线的一条切线为，则________．
14. 小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片，爸爸有3张标有B的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为，则________，________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，边的中线是AD，求．
16. 如图，直四棱柱的体积为，，，的面积为．
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）若，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．
17. 在平面直角坐标系中，已知动点满足：．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）过作直线交曲线y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．
18. 已知定义域为两个函数与满足，．
（1）若有且仅有两个整数使关于x的不等式成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）若，判断的符号，并说明理由．
19. 已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”．
（1）已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”；
（2）若满足，，且数列为等差数列，“数列”为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求前n项和．