2024-2025学年河北省承德市双滦区高三上学期10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市双滦区高三上学期10月月考数学检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若全集，集合，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. ，则
D. 若，则
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数,若实数,则函数的零点个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（ ）
A. 是的充分不必要条件B. 是的充要条件
C. 是的充要条件D. 是的充要条件
10. 已知，，下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值是
C. 的最小值是8D. 的最小值是
11. 已知函数是定义域为R的奇函数，且，则（ ）
A. B. 的一个周期是3
C. 一个对称中心是D.
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12. 已知定义在上奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______．
13. 某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价）
14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值组成的集合．
16. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
17. 已知函数，且.
（1）求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
18. 已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.
（1）求值；
（2）求函数的解析式；
（3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
19. 已知函数经过，两点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
2024-2025学年河北省承德市双滦区高三上学期10月月考数学
检测试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若全集，集合，则 （ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】“，”的否定是：，.
故选：A
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. ，则
D. 若，则
【正确答案】D
【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.
【详解】对于A，，
因为，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，所以，
又，所以，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，
所以，故D正确.
故选：D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，
解得，即函数的定义域为.
故选：D.
5. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论．
【详解】易知函数定义域为，
且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称；
又当时，，因此排除A，
又，
利用指数函数图象性质可知其在0,+∞上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD，
故选：B.
6. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分析可知为奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为的定义域为，且，
可知函数为奇函数，
当，则，
且的开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，
由奇函数性质可知在内单调递增，
所以在内单调递增，
若，则，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
7. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围.
【详解】因为对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
又因为，可得，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，所以，可得，即，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8. 已知函数,若实数,则函数的零点个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】D
【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.
【详解】令，得，根据分段函数f(x)的解析式，做出函数f(x)的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，
故选：D.
本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（ ）
A. 是的充分不必要条件B. 是的充要条件
C. 是的充要条件D. 是的充要条件
【正确答案】BD
【分析】根据命题的充分必要性直接得解.
【详解】由是的必要条件，即是的充分条件，又是的充分条件，所以是的充分条件，无法推到命题，A，C选项错误；
又是的必要条件，所以是的充要条件，B选项正确；
所以是的充要条件，D选项正确；
故选：BD.
10. 已知，，下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值是
C. 的最小值是8D. 的最小值是
【正确答案】ACD
【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD.
【详解】，由，解得，A正确；
，
当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误；
由，得，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数是定义域为R的奇函数，且，则（ ）
A. B. 的一个周期是3
C. 的一个对称中心是D.
【正确答案】BCD
【分析】根据的周期性，奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由，可得，
所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确；
又是上的奇函数，知，可得，
无法确定，的值，选项A错误；
由，及，可得，
所以的图象关于点对称，选项C正确；
由的周期为3，
得，选项D正确.
故选：BCD.
结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，且在0,+∞上单调递减，，
作出示意图如图所示：

由图形可知满足不等式的的取值范围是.
故答案为.
13. 某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件_______________元.（利润=售价-进价）
【正确答案】30
分析】根据题意建立函数关系，利用换元法，构造二次函数，结合其性质求得最大值，可得答案.
【详解】设日利润为，则，
令，由，则，可得，
由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大，
故当，即时，日利润最大.
故答案为.
14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________．
【正确答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数取值组成的集合．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）解方程可得集合与，结合集合间的运算可得解；
（2）由，分与两种情况讨论.
【小问1详解】
由已知，
又，则，解得，
即，
则，；
【小问2详解】
由（1）得，
又，
当，即时，，
当时，，则或，
解得或；
综上所述，或或，
即.
16. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【正确答案】（1）
（2）当万元时，取最大值万元.
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到；
（2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案.
【小问1详解】
，
因为，所以；
【小问2详解】
，
又因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故当万元时，取最大值万元.
17. 已知函数，且.
（1）求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；作图见解析，
（2）
【分析】（1）根据函数值直接可得参数值，再根据基本初等函数的性质作出函数图象，将函数零点转化为两函数交点问题，根据函数的单调性与值域情况，数形结合可得解；
（2）根据函数的单调性可得范围，解不等式即可.
【小问1详解】
因为，所以，
易知当时，函数单调递增，且，
当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
函数的大致图象如图所示，
令，即，
故有三个零点可转化为方程有个不同的实根，
即函数y=fx与函数有个交点，
由图象可知；
【小问2详解】
由（1）可知，函数在区间和上分别单调递增，
因为，
且函数在区间上为增函数，
所以可知，
解得或
所以实数的取值范围为.
18. 已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）令即可求出.
（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据恒成立，可求待定系数.
（3）问题转化成在区间的最小值不小于在上的最小值求参数的取值范围.
【小问1详解】
在不等式，令.
【小问2详解】
因为为二次函数且图象过原点，所以可设，
由，于是，
由题：恒成立
，
检验知此时满足，故.
【小问3详解】
函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即，
而在上单调递减，所以时，
因为对任意，均存在，使得，
等价于
19. 已知函数经过，两点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化，然后利用单调性求解最值即可得解.
【小问1详解】
，，
，解得，
.
【小问2详解】
在0,1上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在0,1上单调递减.
【小问3详解】
由对任意恒成立得，
由（2）知在0,1上单调递减，
函数在上的最大值为，
，
所求实数的取值范围为.