安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设，若为实数，则( )
A.B.C.D.2
3．记为等差数列的前n项和.若，则( )
A.9B.18C.27D.36
4．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为( )
A.B.C.D.
6．已知，则( )
A.B.C.3D.
7．已知P为圆上的动点（不在坐标轴上），过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段的长度为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，则的值域为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在正方体中，P是棱上的动点（不含端点），下列说法中正确的有( )
A.平面
B.
C.四面体的体积为定值
D.存在点P，使得平面平面
10．某同学两次实验得到的数据如下表.实验一所得的样本相关系数为，Y关于x的经验回归方程为：实验二所得的样本相关系数为，U关于v的经验回归方程为，下列结论中正确的是( )
实验一
实验二
参考公式：样本相关系数，.
A.B.C.D.
11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则( )
A.曲线C关于直线对称
B.曲线C有4个顶点
C.曲线C与直线有4个交点
D.曲线C上动点P到原点距离的最小值为
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为________（用数字作答）.
13．袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球（不再放回），并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为________.
14．已知抛物线的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的________倍.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分別是a，b，c，已知.
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，在正三棱台中，，.
（1）若，证明：平面；
（2）若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，证明：.
18．已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，B（点A在点B的左侧）.
（1）求曲线T的方程：
（2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点（点在y轴左侧，点在y轴右侧）.
（i）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ii）记直线，的斜窣分别为，，证明：是定值.
19．正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k，n为正整数.若正整数序列满足，且，，则称为n的一个k部划分.记为n的所有k部划分的个数.
（1）计算：，；
（2）证明：；
（3）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以，故选C.
2．答案：A
解析：因为为实数，所以，即，故选A.
3．答案：C
解析：由等差数列的性质可得，即，
故选：C.
4．答案：A
解析：因为所以的定义域为R，
且.
所以函数为偶函数，故可排除选项C，D；
又，故可排除选项B，故选A.
5．答案：D
解析：根据题意，设与的夹角为，
向量，，满足，即，
则有，
代入数据可得：，
解可得：，
又由，
则；
故选：D.
6．答案：B
解析：由，
得
故选：B.
7．答案：C
解析：将三角形绕y轴旋转一周得到一个圆锥，其体积为，其中x为的长度，y为的长度.
由于点P在圆上，因此.
将代入体积公式，得到.
为了求得体积最大值，对V关于y求导，并令导数为0，解得.
将y代入，得到.
因此，当圆锥体积最大时，线段的长度为.
故选C.
8．答案：B
解析：
当时，，
当时，，
当时，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最小值，
此时，，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最小值，
此时，，
当时，取得最大值，此时，
综上，的值域为.
故选：B.
9．答案：AB
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：AC
解析：
12．答案：
解析：在的展开式中含.
综上所述，故答案为：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，所以，
即，即.
所以，或（舍去）
所以.
（2）由（1）知，，
所以，，故，
则.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图所示，过点作，交于点E，
在正三棱台中，四边形为平行四边形.
刚为，，所以.
又，所以，即.
故，同理可得.
又直线与相交，所以平面.
（2）以的中点O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间点角坐标系.
取线段中点F，因为，，.
所以，.
由条件可知，则.
设平面的法向量为，
则，即，取，
则，故.
设平面的法向出为，
则，即，取，
则，，故.
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）函数定义域为，
且，，
令，当，即时，恒成立，
则，所以在上是单调递减；
当，即时，函数有两个零点：，，当x变化时，，的变化情况如下表所示：
所以，当时，在内单调递增，在和上单调递减；
当时，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，
则，是方程的两个根，
由韦达定理，得，.所以，
，
令，，
则，当时，，
则在区间上是单调递减，从而，
故.
18．答案：（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
解析：（1）设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
点M的轨迹（曲线T）是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线T的方程为.
（2）（i）要证，只要证线段的中点与线段的中点重合.
设，，其，
由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为.
因为直线l与圆相切，所以，即.
联立.，消去y并整理得，
所以，
从而线段的中点横坐标为.
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，则线段中点的横坐标为，
所以.
（ii）由条件，，即，
所以，
由题意知，，.
所以
即为定值.
19．答案：（1），；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）6的所有3部划分为：，，；
5的所有2部划分为：，.
所以，.
（2）设是n的一个k部划分.分两种情形讨论.
①若，则为的一个部划分.故满足的n的所有k部划分有.
②若，则为的一个k部划分.故满足的n的所有k部划分有个.
综上可知，.
（3）由（2）可知，
……
上述各式左右对应相加可得
又因为，
所以.
x
2
3
4
5
6
y
12
10
9
7
4
v
4
6
8
10
12
u
8
10
11
13
16
x
-
0
+
0
-
单调递减
单调递增
单调递减