2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题

合肥市2020届高三第一次教学质量检测

数学试题(理科)

(考试时间：120分钟   满分：150分)

第Ⅰ卷  (60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则(   ).

A.       B.      C.       D.

2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则(　 　).

A.       B.      C.      D.

3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(    ).

A.这五年，2013年出口额最少

B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降

D.这五年，2017年进口增速最快

4.下列不等关系，正确的是(      ).

A.    B.

C.    D.

5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于(     ).

A.21         B.1        C.-42       D.0

6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于(     ).

A.2         B.3         C.4         D.5

7.函数的图象大致为(    ).

8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是(      ).

A.的图象关于对称        B.在上有2个零点

C.在区间上单调递减     D.在上的值域为

9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于(      ).

A.         B.2          C.          D.

10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(     ).

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001)

A.        B.        C.      D.

11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：

①平面分正方体所得两部分的体积相等；

②四边形一定是平行四边形；

③平面与平面不可能垂直；

④四边形的面积有最大值.

其中所有正确结论的序号为(     ).

A.①④       B.②③        C. ①②④     D. ①②③④ 

12.已知函数，则函数的零点个数为(      ) (是自然对数的底数).

A.6            B.5           C.4             D.3

第Ⅱ卷    (90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于           .

14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于           .

15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有       种.

16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于          ，球的表面积等于            .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

在中，内角所对的边分别为，若，.

(1)求；

(2)若边的中线长为，求的面积.

18.(本小题满分12分)

“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：

该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：

(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；

(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

19.(本小题满分12分)

如图，已知三棱柱中，平面平面，，.

(1)证明：；

(2)设，，求二面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

21.(本小题满分12分)

已知函数(为自然对数的底数).

(1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；

(2)设方程()有两个实数根，，求证：.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数()，不等式的解集为.

(1)求的值；

(2)若，，，且，求的最大值.

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-2       14.或       15.72        16.，(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)在中，，且，

∴，∴，

又∵，∴.

∵是三角形的内角， ∴.     ………………………………5分

(2)在中，，

由余弦定理得，∴，

∵，∴.

在中，，，，

∴的面积.       ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，

∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：.    ………………………………5分

(2)可能取值为0，1，2，3.

则，，

，，

∴的分布列为

∴. ……………………………12分

或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分

19.(本小题满分12分)

(1)连结.

∵，四边形为菱形，∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴.                   …………………………5分

(2)取的中点为，连结.

∵，四边形为菱形，，∴，.

又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，，，，

∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).

由(1)知，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则，∴.

∵，，∴.

令，得，即 .

∴，

∴二面角的余弦值为.       ……………………………12分

20.(本小题满分12分)

(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.

设圆的半径为，则，

∴，解得，∴，

∴椭圆的方程为.  ……………………………5分

(2)∵关于原点对称，，∴.

设，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由直线和椭圆方程联立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.

当直线的斜率不存在时，依题意得，.

由得，∴，结合得，

∴直线到原点O的距离都是，

∴直线与圆也相切.

同理可得，直线与圆也相切.

∴直线、与圆相切.                     …………………………12分

21.(本小题满分12分)

(1)由，得，∴函数的零点.

，，.

曲线在处的切线方程为.

，，

∴曲线在处的切线方程为.………………………5分

(2).

当时，；当时，.

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

由(1)知，当或时，；当时，.

下面证明：当时，.

当时，

.

易知，在上单调递增，

而，

∴对恒成立，

∴当时，.

由得.记.

不妨设，则，

∴.

要证，只要证，即证.

又∵，∴只要证，即.

∵，即证.

令.

当时，，为单调递减函数；

当时，，为单调递增函数.

∴，∴，

∴.   …………………………12分

22.(本小题满分10分)

(1)曲线的方程，∴，∴，

即曲线的直角坐标方程为：.    …………………………5分

(2)把直线代入曲线得，

整理得，.

∵，设为方程的两个实数根，则

，，∴为异号，

又∵点(3，1)在直线上，

∴.

…………………………10分

23.(本小题满分10分)

解：(1)∵，∴的解集为，

∴，解得，即.                …………………………5分

(2)∵，∴.

又∵，，，

∴

，

当且仅当，结合解得，，时，等号成立，

∴的最大值为32.                       …………………………10分