北京市2024届高考数学模拟冲刺卷（二）+

这是一份北京市2024届高考数学模拟冲刺卷（二）+，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，若，则a的取值范围是
A. B. C. D.
2.已知复数，为虚数单位，，若为实数，为纯虚数，则
A. 0B. 2C. D.
3.已知函数，的最小值为2，则m的取值范围是
A. B. C. D.
4.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则它的离心率为
A. B. C. D.
5.设是两个不共线向量，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在中，若，，，则
A. B. C. D.
7.若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是
A. 48B. 44C. 36D. 24
8.若数列是各项均非零的等差数列，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
9.如图，在正方体中，E为棱BC上一点且，点P是棱上的动点，给出下面4个结论：
①存在点P，使；
②存在点P，使；
③的面积不变；
④三棱锥的体积不变．
则正确的结论的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知函数，函数，则：
A. 存在实数a，使得对任意实数b，都有至少3个零点
B. 存在实数b，使得对任意实数a，都有至少3个零点
C. 对任意实数a，都存在实数b，使得至少有3个零点
D. 对任意实数b，都存在实数a，使得至少有3个零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则__________.
12.已知点在抛物线C：上，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________.
13.若随机变量，若，，则的值为__________.
14.已知，，若方程有3个不等实根，则的最小值为__________.
15.已知集合，集合，则在集合T中随机抽取一个元素B，则B中所有元素之和为奇数的概率为__________.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题13分
已知函数
Ⅰ求函数的最大值和最小值；
Ⅱ求函数的单调递增区间．
17.本小题14分
为增强学生文化素养，某学校计划推进课外阅读项目，为了解同学们平时的阅读习惯，随机抽取100名学生参与问卷测试，了解他们每周的阅读时长单位：小时，并将问卷结果绘制频率分布表如表：
Ⅰ从该学校随机抽取1名学生，估计其阅读时长不小于6小时的概率；
Ⅱ若将学生的阅读喜好分为“比较喜欢”时长不低于6小时和“不太喜欢”时长低于6小时两类，完成右边的联表，并判断是否有的把握认为“学生对阅读的喜好程度”与“性别”有关？
Ⅲ从参与问卷测试且阅读时长不低于8小时的学生中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为阅读小组组长，设3人中男性组长的人数为，求的分布列和期望.
附：
临界值表：
18.本小题14分
如图，在长方体中，，，点E是棱AB上的动点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ在下面3个条件中选择1个，使得符合条件的点E存在且唯一确定，并求点E到面的距离；
条件①：三棱锥的体积为1；
条件②：二面角的余弦值为；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题14分
已知椭圆的焦距为2，、分别为其左、右焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于M、N，的周长为
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设P、Q、R是椭圆C上的三点，且原点O是的重心，试判断的面积是否为定值，若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．
20.本小题15分
已知函数
Ⅰ若，
①求在点处的切线；
②判断在上的单调性；
Ⅱ若对于，恒成立，求a的取值范围．
21.本小题15分
设有穷数列的各项均为正整数，记其所有项之和为S，所有项之积为
Ⅰ若数列的所有项为2，3，3，3，3，数列的所有项为2，4，8，分别写出它们的所有项之和S和所有项之积T；
Ⅱ若数列的所有项之和，试求T的最小值和最大值；
Ⅲ若数列的所有项之和，试求T的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的基本关系，属于基础题.
【解答】
解：当时，A中至少有1个元素“3”不属于B；当时，
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的加法、减法运算，属于基础题．
【解答】
解：，由已知，故
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查已知函数的值域求参，属于基础题．
【解答】
解：，得函数在 上单调递减，
令，故，又当时，，
故故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率，双曲线的渐近线方程，同角三角函数基本关系式，属于基础题．
【解答】
解：，又渐近线的斜率，故，
，故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积与向量垂直的关系，条件关系的判断，属于基础题．
【解答】
解：，
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
【解答】
解：在中，，
，，
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.
【解答】
解：当该直线为棱所在直线时，有3个面与其构成“平行线面对”，共对；
当该直线为面对角线所在直线时，有1个面与其构成“平行线面对”，共12对；
当该直线为体对角线所在直线时，无．
综上，共48对，故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于中档题．
【解答】
解：设公差为d，则
A、D选项：，故D正确；
B、C选项：例如对等差数列，C不对；对等差数列，B不对．
综上，选
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量在立体几何中的应用，判断线线垂直，距离相等等，属于综合题.
【解答】
解：不妨以D为原点，、、分别为x、y、z轴正方向建立直角坐标系，
设，则，，，设，
结论①：，，令得，故当P与重合时，，①正确；
结论②：，，令，故当时，，②正确；
结论③：与DE不平行，故点P运动时到DE距离d不是定值，又为定值，故的面积不是定值．③错误．
结论④：P到底面距离h不变，面积不变，而为定值．④正确．
故选
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的图象，函数零点个数的判断，分段函数图象的研究，属于综合题.
【解答】
解：函数的零点个数即函数图象与的交点个数．
下面分别讨论在和两部分的交点个数：
令，则，列表如下：
且当时，时，其示意图如图所示，
当或时，与在的部分有1个交点；
当时，与在部分有2个交点；
当时，与在部分无交点；
令，易知当、、时，
当时，
①若，有1个交点；②若，无交点；
当时，
①若或，有1个交点；
②若，有2个交点；
③若，无交点．
故得函数图象如图所示：
综上可以判断：
选项A：无论a取何值，总存在b使得少于3个零点，A错误；
选项B：无论b取何值，总存在a使得少于3个零点，B错误；
选项C：无论a取何值，都可以取，使得存在至少3个零点，C正确；
选项D：显然对于，不存在这样的a，D错误．
选
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项展开式系数的和，属于基础题.
【解答】
解：令得
故答案为
12.【答案】3
【解析】【分析】
利用抛物线的定义求解．
本题考查了抛物线的定义，属于基础题．
【解答】
解：根据抛物线的定义可得：点P到抛物线C的焦点的距离为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于基础题．
【解答】
解：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
【解答】
解：作出示意图，
显然当时，方程有3个不等实根，
不妨记，则，
所以的最小值为
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的概念，古典概型的概率计算，组合的应用，属于综合题．
【解答】
解：要使B中元素之和为奇数，则B中的元素应为奇数个奇数和任意个可为0个偶数；
A中共有1012个偶数，故仅由偶数构成的子集C共有个包括空集；
A中共有1012个奇数，故由奇数个奇数构成的子集D共有个；
故满足所有元素之和为奇数的集合B可看作任选1个集合C和1个集合D的并集，
共有个，而T中总的元素个数为个，
故满足题意的概率为
故答案为
16.【答案】解：Ⅰ，，，，
，
的最大值为，的最小值为
Ⅱ令，则
①当，即时，
y关于u的函数为减函数，要求 的单调递增区间，则求的单调递减区间，
而在上单调递减，
故在上单调递增，
②当，即时，
关于u的函数为增函数，要求 的单调递增区间，则求的单调递增区间，
而在上单调递增，
故在上单调递增；
综上，的单调递增区间为和

【解析】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ在抽取的100名学生中，阅读时长不小于6小时的人数为：人，
用频率估计概率可得，随机抽取1人，其阅读时长不小于6小时的概率P约为；
Ⅱ填表如图：
则，
故没有的把握认为“学生对阅读的喜好程度”与“性别”有关；
Ⅲ阅读超过8小时的人中，
男生：女生：：2，
故分层抽样应抽取男生人，女生人，
故的取值范围是，，
，，，，
故分布列如下：

【解析】本题考查用频率估计概率；独立性检验；随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ长方体，、DC、两两垂直，
以D为原点，、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，
，
Ⅱ条件①：面ABCD，而，
若，则，矛盾，故条件①不符合要求．
条件②：显然是平面DEC的一个法向量，，
设平面的一个法向量为，
则，
取得，
记该二面角为，由图可知该二面角为锐角，故，解得或舍，
此时E为AB中点，故易知三棱锥的体积，
，，故易知，
到平面的距离
条件③：，，，
解得，以下同条件②．

【解析】本题考查空间向量在立体几何中的应用，求点到平面的距离，平面与平面所成的角等，属于中档题.
19.【答案】解：Ⅰ由已知：，所以椭圆C的方程为；
Ⅱ当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，记、、，联立，得：，
当时，
有，，，
，
是的重心，
，，
，，
点R在椭圆上，
，化简得，
又O到直线PQ的距离为，
为定值．
当PQ斜率不存在时，易知或，易求得
综上，的面积为定值

【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的定值问题，属于综合题.
20.【答案】解：Ⅰ当时，，，，
①，，在处的切线为：，即；
②和在上均单调递减，在上单调递减，
当时，恒成立，
在上单调递减．
Ⅱ令，，
则，
对，恒成立恒成立，又，
故必要条件为，即，
下证时满足条件：
①当时，，和在上均单调递减，
在上单调递减，
，在上单调递减，恒成立；
②当时，，，，故，
在上单调递减，恒成立．
综上，a的取值范围是

【解析】本题考查求曲线上一点的切线方程，利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的恒成立问题，属于综合题.
21.【答案】解：Ⅰ对于数列，，，
对于数列，，；
Ⅱ数列各项均为正整数，故，当共10项，每项均为1时可取得等号，
的最小值为1；下求T的最大值：
①要使T取得最大值，则中不能含1，否则，设其为，
则数列也满足，但，后者T更大；
②要使T取得最大值，则中不能含x，，否则，设其为，
则数列也满足，但，后者T更大；
③中的4可以替换为2项2而不影响S和T的值，这是显然的：，；
至此，已明确要使T取最大，中只含有2和3，
④要使T取得最大值，则中不能含3项以上的2，这是因为，但，故总可以将3项2替换为2项3，使得T增大；
综上，当时，数列2，2，3，3的乘积T最大，为
Ⅲ由Ⅱ知，当数列中含有不超过2项2，其余全是3时，T最大，
而，故当含有673项3，2项2时，且T取最大值，

【解析】本题考查数列中的逻辑推理，属于综合题.阅读时长
男生人数
4
9
12
13
11
6
3
女生人数
2
5
8
11
10
4
2
不太喜欢
比较喜欢
合计
男性
女性
合计
k
x
e
正
0
负
增
极大值
减
不太喜欢
比较喜欢
合计
男性
25
33
58
女性
15
27
42
合计
40
60
100
0
1
2
3
P