（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第03讲 不等式中的恒成立（有解）问题（2份，原卷版+教师版）

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一、结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若 有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
五、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．
①基本不等式恒成立问题
【例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题意，只需在时即可，又，则，
故，当且仅当时等号成立，故，所以，即.故选：A
【变式1-1】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换，设，均值不等式计算最值得到答案.
【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，
，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.
【变式1-2】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】当时，由，可得，则，
因为，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，当时，的最大值为，故.故选：A.
【变式1-3】设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式，建立了不等式，可得答案.
【详解】由题意可知，则，
当且仅当，即，等号成立；由题意可得，解得.故选：C.
【变式1-4】设，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．16 B．2 C．8 D．1
【答案】C
【分析】根据条件推出，即可将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值，结合不等式恒成立即得答案.
【详解】因为，故，
则，
当且仅当，即时取得等号，由于恒成立，故，
即的最大值为8，故选：C.
②函数不等式恒成立（有解）问题
【例2】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换，设，均值不等式计算最值得到答案.
【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，
，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.
【变式2-1】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．
【变式2-2】设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为对任意的恒成立，令，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为偶函数在上是增函数，且，所以的最大值为2，由对所有的及任意的都满足，则只需，即对任意的恒成立，令，则满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选：C．
【变式2-3】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出求解即可.
【详解】，，所以，，
在上单调递减，所以，
当时，，即，取成立.
当时，，即，得，所以
当时，，即，得，所以，
综上： 的取值范围是.故选：A
【变式2-4】已知函数，不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定出分段函数的单调性，由单调性确定不等式的解，再根据恒成立得结论．
【详解】是减函数，也是减函数，时，，所以在上是减函数，
因此不等式等价于，即，因此有．故选：A．
③一元二次不等式恒成立（有解）问题
策略方法 一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【例3】若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意“，”为真命题，然后利用即可求解.
【详解】由题意得：“，”是假命题，得：“，”为真命题，
所以：，解得：，故A项正确.故选：A.
【变式3-1】若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案.
【详解】因为，所以由不等式得，不等式在区间内有解，只需，因为在上单调递增，
所以的最大值为，可得，解得.故选：D.
【变式3-2】若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于，所以问题转化为有解，再由可求得结果.
【详解】因为恒成立，所以原不等式等价于有解，即有解，所以，解得，即实数的取值范围为，
故选：C
【变式3-3】若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数的单调性化简，转化为一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到结果.
【详解】不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立，
即恒成立，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B
【变式3-4】若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为
【答案】
【分析】由题意可得在上有解，然后求出的最小值即可.
【详解】因为函数，使不等式成立，所以在上有解，所以，，因为，所以，所以当时，取得最小值，所以，即实数a的取值范围为，故答案为：.
不等式中的恒成立（有解）问题 随堂检测
1.若命题“，”是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知恒成立，只需，结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】由题可知恒成立，只需，因为，当且仅当时，即当时取等号，所以的取值范围为.故选：B.
2．已知，且为真命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】判断充分必要条件，一般先就两个命题求出它们的等价命题，再根据要求判断即可.
【详解】由题意，，即；又由“”为真命题当且仅当，即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件.故选：A.
3．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】由题意知，“，使”是真命题，当，即时，不等式可化为，符合题意；当，即时，则且，解得，综上，实数m的取值范围为，故选：C．
4．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得.
【详解】由题意可知：在上恒成立，整理得在上恒成立，
因为在上单调递减，则在上单调递减，且，可得，又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，可得在上单调递减，则，可得，综上所述：a的取值范围是.故选：C.
5．若存在正数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】问题转化为在上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.
【详解】由题意知成立，即成立．令，显然在上单调递增，所以，，所以实数a的取值范围是．故选：C
6．已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】化简，得到在上单调递增，再化简得到，把不等式转化为，得到在有解，结合，即可求解.
【详解】当时，函数，可得函数在上单调递增，
因为，所以，所以，所以，
即在有解，又由当时，，所以，所以实数最大值为.故选：D.
7．已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，为正实数且，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，因为对满足的所有正实数，都成立，
所以，即，整理得，解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为.
故选：B.
8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可.
【详解】设，则在的最大值为4，因为关于的不等式在上有解，即，解得，故答案为：.
9．设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.
【详解】因为，，，所以，
则，当且仅当时，即时取等号，所以，解得.故答案为：
10．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果.
【详解】，当时，，
令，则在上单调递增，，，当时，恒成立，即实数的取值范围为.故答案为：.
11．已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，当且仅当时取等号，
故的最大值为，所以.故答案为：
12．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先根据二次函数知识求得，然后根据a的符号讨论，利用单调性求得最值，列不等式即可求解.
【详解】因为对任意的，总存在与使得成立，所以，
，对称轴为，因为，所以当时，，
当时，函数在上单调递增，所以，
所以，解得；当时，函数在上为常数函数，满足；
当时，函数在上单调递减，所以，
所以，解得；综上，，即实数a的取值范围为.
故答案为：
13．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】参变分离得到关于的不等式在上有解，利用对勾函数的性质求出，即可求出的取值范围.
【详解】因为关于的不等式在上有解，
所以关于的不等式在上有解，所以，，
因为，所以，令，则，，令，，
因为对勾函数在上单调递减，则，所以，当且仅当时取等号，所以，则，即实数的最小值为.
故答案为：
14．已知函数，且，若对任意的，存在使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数在上的最小值小于函数在上的最小值求解.
【详解】解：当时，，则，
对任意的，存在，使得成立，函数在上的最小值小于函数在上的最小值.又当，时，，不符合题意，则，函数在上单调递增，所以，所以，即，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数单调性将不等式对任意实数恒成立，转化为对于恒成立，列出不等式组进而求解即可.
【详解】因为时，，所以由函数图象可知，函数在上递增，
又是上的奇函数，所以在上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，即对于恒成立，当时，不恒成立，
当时，则，解得.综上可得.
故答案为：
①基本不等式恒成立问题
②函数不等式恒成立（有解）问题
③一元二次不等式恒成立（有解）问题