（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第02讲 平面向量的加法、减法运算（2份，原卷版+教师版）

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一、向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接连首尾）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（4）多个向量相加
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.
二、向量加法的运算律
（1）交换律
（2）结合律
三、向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
四、向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
题型一：向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则
策略方法
(1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法
(2)向量减法的三角形法则作图的方法
此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.
【例1】化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.故选：C.
【变式1-1】化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法法则，结合向量加法交换律即可求解.
【详解】.故选：B
【变式1-2】四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,故选：B
【变式1-3】如图，向量，，，则向量（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得，故选：C．
【变式1-4】（多选）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.故选：ABD
【变式1-5】已知为正三角形，则下列各式中成立的是 .（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①②③
【分析】设分别为的中点，根据平面向量加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案.
【详解】对于①，，故①成立；
对于②，设分别为的中点，则，
，，
所以，故②成立；
对于③，，所以，故③正确；
对于④，，故④不成立.故答案为：①②③.
【变式1-6】如图，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作向量:
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的减法可作.
（2）过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接，则即为所求的.
【详解】(1)在正方形ABCD中，.连接BD，箭头指向B，则即为.
(2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形，
故.在△ADF中，，故即为所求.
【变式1-7】如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析；(3)，
【分析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出；
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出；
（3）作出的向量利用勾股定理可求得，由共线向量的加法运算可得．
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；
由共线向量的加法运算可知.
题型二：向量加法运算律的应用
策略方法
求解向量加法运算的方法
(1)①要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,必要时可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.特别注意勿将0写成0.
②将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
(2)注意满足下列两种形式的可以化简
①首尾相连且为和.②始点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
【例2】向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】，故选：D
【变式2-1】已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由, 代入运算即可得解.
【详解】解：因为，所以,所以，故选：A.
【变式2-2】已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以，，，，都等于，故选：A
【变式2-3】如图，向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图可得，，然后可得答案.
【详解】由图可得，所以故选：D
【变式2-4】在平行四边形中，是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量相等的概念可判定选项A，利用向量的加法法则可判定选项B，C，D.
【详解】选项A：因为平行四边形，所以，，故选项A正确；
选项B：因为，与不是相等向量，故选项B错误；
选项C：因为，，所以，故选项C正确；
选项D：因为，故选项D错误；故选：BD.
【变式2-5】设M，N，P，Q是数轴上不同的四点，给出以下关系：①；②；③；④.其中正确的序号是 .
【答案】①②③
【分析】依次根据数轴上向量的几何运算规律进行计算，即可得结果.
【详解】，①显然正确；
，故②正确；
，故③正确；
，与不相等，故④错.故答案为：①②③.
【变式2-6】如图所示，求：
(1)； (2)； (3)； (4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型三：利用向量加减法判断平面图形的几何形状
策略方法
要熟悉并会应用平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质.基本思路是先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.
【例3】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,又因为正方形的边长为1，
所以，故选：B.
【变式3-1】如图，在正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案.
【详解】连接，，交于点，由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，
所以且，，故选：C
【变式3-2】在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．
【分析】在矩形中，由，可得，又因为，故，故．故选：A.
【变式3-3】已知平面内三点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是一个直角三角形的三个顶点 B．是一条直线上的三个点
C．是平面内的任意三个点 D．是一个锐角或钝角三角形的三个顶点
【答案】C
【分析】根据向量加法运算即可进行判断.
【详解】由向量加法运算可得：，
是平面内的任意三个点都满足上式，故选：C.
【变式3-4】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】因为，，所以，所以为等边三角形．
故选：A
【变式3-5】已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为（ ）
A．40 B． C． D．80
【答案】A
【分析】由题知，，从而有，则当风叶旋转到最低点时，最小，从而计算出模长的最小值.
【详解】由题知，，即，则，则当风叶旋转到最低点时，最小，且值为.故选：A
【变式3-6】在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；因为, 故C正确；
因为, 故D正确.故选：CD
平面向量的加法、减法运算 随堂检测
1．已知四边形是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法则可化简.
【详解】.故选：D.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法法则即可求解.
【详解】由向量的加法法则，得.故选：A.
3.化简以下各式:
①；②；③；④，
结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①，,故①正确；
对于②，,故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，,故④正确.
故结果为零向量的个数是3.故选:C.
4．下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；故选：B
5．在矩形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案.
【详解】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.

故选：D
6．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.
【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选：D.
7．已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形的边长为1， , ,， ，
， 故选：D
8．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
【答案】C
【分析】分析可得，结合平行四边形的定义可得出结论.
【详解】因为，即，又因为，故四边形一定为平行四边形.
故选：C.
9．简化 ．
【答案】
【分析】根据向量加减法法则运算即可.
【详解】，故答案为：
10．如图，在菱形ABCD中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可
【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．
因为，所以，所以为等边三角形．又，，所以．
在中，，所以．
故答案为:
12．已知，，为边的中点，则 .
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边法则可得.
【详解】因为，，以，为邻边作平行四边形，所以
故答案为：
13．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状为 .
【答案】矩形
【解析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由对角线相等可证明是矩形.
【详解】因为，所以，所以四边形ABCD为平行四边形.
因为，所以，即平行四边形ABCD的对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形，故答案为：矩形
15．化简：（1）
（2）；
（3）＋．
【详解】（1）
方法二(利用)：
（2）．
（3）
16.如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：.
【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明.
【详解】因为，，所以.
又因为，所以.
17.已知，，，求的值．
【答案】10
【分析】根据向量的线性运算结合矩形的性质分析求解.
【详解】在平行四边形中，
设，，则，，
由于，，且，
可得，所以，故四边形为矩形，
所以，即．

①向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则
②向量加法运算律的应用
③利用向量加减法判断平面图形的几何形状
法则
作法
三角形
法则
①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示).
②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
平行四
边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点.
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形.
③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和