高一预习-专题强化2 不等式恒成立、能成立问题（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
一、“Δ”法解决恒成立问题
(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
二、数形结合法解决恒成立问题
结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
能成立问题可以转化为m>ymin或m【题型目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
1．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论和两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】当时，原不等式为满足解集为R；
当时，根据题意得，且，解得．
综上，的取值范围为．
故选：B．
2．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】只需要满足条件即可.
【详解】由题意，
整理可得，，解得.
故选：C.
3．（多选）不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.
【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有：
，故A正确；
当时，满足 ，即原不等式成立，B错误；
由 ，得 ，所以 ，C正确；
，D正确；
故选：ACD．
4．若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
二、数形结合法解决恒成立问题
1．（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】AB
【分析】求出二次函数的对称轴为，分别对和进行分类讨论，即可得到答案
【详解】解：二次函数的对称轴为，
①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，
且时，即满足题意；
②若时，
如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，
则时，，解得，
此时，，
综上，，
故选：AB．
2．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有即可求结果.
【详解】由题设，且，可得，
所以在上恒成立，
而在上递增，故只需即可，
所以.
故答案为：
3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
【详解】令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1,2]上恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.
如图，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋5<0，,2m＋8<0.))
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
三、分离参数法解决恒成立问题
1．对任意的，恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.
【详解】解：因为对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故选：C
2．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．
【答案】
【分析】分离参数，将问题转化为，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.
【详解】解：由题意，，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即a的最大值是．
故答案为：.
3．写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．
【答案】不少于的任意一个实数
【分析】对不等式全分离,即恒成立,只需,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.
【详解】解:因为恒成立,
所以,即只需,
因为,所以,
故只需即可.
故答案为: 不少于的任意一个实数
4．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求得存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【详解】由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，
在区间上，的最小值为，
所以，
即a的取值范围是.
故答案为：
5．函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以命题“”是真命题，
即在上恒成立，
因为当时，，
所以在上恒成立，
而，
所以，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
四、主参换位法解决恒成立问题
1．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
2．若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解.
【详解】由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解.
3．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】令，利用一次函数的单调性分讨论可得答案.
【详解】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
五、利用图象解决能成立问题
1．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围.
【详解】命题“”是假命题，
所以“”是真命题，
当时，不成立，不符合题意，所以，
所以或，
所以或.
故选：B
2．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于的不等式有解,
则，解得.
故选：C.
3．若命题，是真命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】依题意可得二次函数与轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.
【详解】已知命题，是真命题，
则二次函数图像与轴有交点，所以，
解得或.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
4．若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式的符号做出判断即可求出实数的取值范围
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
六、转化为函数的最值解决能成立问题
1．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．
【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值.
令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
3．若命题“”为假命题，则实数的取值范围___________．
【答案】或
【分析】转化为命题“，使得成立”为真命题，利用不等式有解,左边的最小值小于右边，可求出结果.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“，使得成立”为真命题，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
所以，解得或.
故答案为：或.
4．若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最大值即可得解.
【详解】因为在区间内有解，
所以在区间内有解，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，故，
所以，即.
故答案为：.