初中数学沪科版（2024）七年级下册第6章 实数6.1 平方根 、立方根课后测评

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考点1 平方根的概念理解
1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）144的平方根是的数学表达式是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据平方根定义，如果一个数平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
，
故选C．
总结提升：本题考查了平方根的的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为（ ）
A．1B．C．2D．
思路引领：根据正数有两个平方根，且互为相反数，即可求解．
由题意得：，
解得：，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．
考点2 求一个数的平方根
3．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）2的平方根是（ ）
A．B．C．±2D．2
思路引领：直接利用平方根的定义求解即可．
解：的平方根是，
故选：B．
总结提升：本题考查了平方根的定义，解题关键是牢记平方根的定义，其中一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
4．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）的平方根是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据平方根的概念：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根，即可解答．
解：∵，
∴的平方根是．
故选：C．
总结提升：本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的概念．
5．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）16的平方根是（ ）
A．B．4C．D．8
思路引领：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，根据定义解答．
解：∵，
∴16的平方根是，
故选：A．
总结提升：此题考查了平方根的定义，熟记定义并正确确定某一个数的平方等于16是解题的关键．
6．（2021秋·浙江湖州·七年级统考期中）如果a，b分别是5的两个平方根，那么________．
思路引领：先求出a，b的值，再相乘即可．
∵5的平方根是，a，b分别是5的两个平方根，
∴，
故答案为．
总结提升：本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
7．（2022·全国·七年级专题练习）若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．
思路引领：根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1或5．
总结提升：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）已知是的立方根，是4的算术平方根，求的平方根．
思路引领：根据题意得到，，代入，再由平方根定义即可得到答案．
解：∵是的立方根，是4的算术平方根，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
总结提升：本题考查立方根、算术平方根及平方根定义及计算，熟记相关定义是解决问题的关键．
9．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）已知，，且，求的平方根．
思路引领：根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴的平方根是：
总结提升：本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，能够正确得出，的值是解题的关键．
考点3 平方根的应用
10．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（ ）
A．2B．C．6D．4
B
思路引领：根据一个正数的两个平方根之间的关系，列方程，即可求解．
解：一个正数的两个平方根为与，
，
解得，
故选：B．
总结提升：本题考查了一个正数的两个平方根之间的关系，熟练掌握和运用一个正数的两个平方根之间的关系是解决本题的关键．
11．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
思路引领：根据平方根的性质列方程求解即可；
∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
总结提升：本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
12．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）若一个正数的平方根是和，则m的值是_______．
思路引领：根据平方根的定义可得，解方程即可求解．
解：∵一个正数的平方根是和，
∴
解得：，
故答案为：．
总结提升：本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数的关系是解题的关键．
13．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则______．
思路引领：根据一个正数的两个平方根互为相反数的得出方程，求解即可．
解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得．
故答案为：．
总结提升：本题考查了平方根的性质，熟知一个正数的平方根互为相反数是解本题的关键．
14．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
思路引领：（1）先根据x的算术平方根为3，求出x的值，再解关于a的一元一次方程即可得到a的值；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，将，代入即可求出，再求出x的平方即可．
（1）解：因为x的算术平方根为3，
所以，
即，
所以．
（2）解：根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
总结提升：本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
15．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根．
思路引领：根据平方根的概念可得的值，然后可得问题的答案．
解：正实数的平方根是和，
，
，
，
，
,
的平方根是 ．
总结提升：本题考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此题关键．
16．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值．
思路引领：利用平方根的意义求出a值，再利用相反数的意义求出b值，然后将a，b值代入代数式计算即可．
解：∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，解得：．
∴，
∴，
∵，与互为相反数，
∴，解得：．
当时，．
总结提升：本题主要考查了实数的性质、平方根、立方根、相反数的意义等知识点，利用平方根和相反数的意义求出a、b的值是解题的关键．
17．（2022春·广东湛江·七年级校考期中）若数m的平方根是a+3和2a-18，求m的值．
思路引领：根据平方根的和为零，可得一元一次方程，解得a的值，根据平方运算，可得m的值．
解：由题意得：a+3+2a-18=0，
解得：a=5．
∴a+3=8，
∴，即m的值为64．
总结提升：本题主要考查实数的平方根，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
二、易错点
易错点1：解方程时遗漏负平方根
18．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）方程的根是________．
思路引领：直接根据平方根的性质，即可求解．
解：，
∴或．
故答案为：或
总结提升：本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
19．（2022秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）解方程：
思路引领：根据平方根的性质直接开方求解即可．
解：∵，
，
，
∴或．
总结提升：此题考查了平方根的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
易错点2：误把的平方根当作a的平方根
20．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）下列各式表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：根据平方根与算术平方根的含义逐一判断即可．
解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查的是平方根与算术平方根的含义，如果，那么是的平方根，其中非负数是的算术平方根，掌握“平方根与算术平方根的概念”是解本题的关键．
21．（2022秋·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考期末）的平方根是______．
思路引领：先根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求出结果．
∵，的平方根为，
∴的平方根是．
故答案为：．
总结提升：本题主要考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是熟知正数的平方根有两个．
三、拔尖角度
角度1 求代数式的平方根
22．（2022秋·浙江·七年级专题练习）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3B．C．D．
思路引领：将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
＋
＝
由题意知，， ，
∴，，
∴，
9的平方根是，
∴平方根为，
故选：C．
总结提升：此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
23．（2021·上海·九年级专题练习）若，则的平方根为（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
思路引领：根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
总结提升：本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
角度2 已知数的平方根，求这个数
24．（2022秋·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）若一个正数的平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1B．C．9D．3
思路引领：根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列方程求出a，进而可求解这个正数．
解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴这个正数为，
故选：A．
总结提升：本题考查平方根、解一元一次方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．
25．（2022秋·全国·七年级专题练习）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是( )
A．441B．49C．7或21D．49或441
思路引领：根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值．
解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，
∴a+3和2a﹣15互为相反数，
即(a+3)+(2a﹣15)＝0；
解得a＝4，
则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；
则这个数为＝49；
故选：B．
总结提升：本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
角度3 利用平方根解方程
26．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值
(1)；
(2)．
思路引领：（1）先求得，然后依据平方根的性质求解即可；
（2）先求得，然后依据平方根的性质求解即可．
（1）
解： ，
∴ ，
∴；
（2）
解：，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
总结提升：本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
27．（2022春·云南大理·七年级校考期中）求下列各式中的x．
(1)x2＝49；
(2)．
思路引领：（1）根据平方根的定义计算即可．
（2）根据平方根的定义计算即可．
（1）
x²=49
x=；
（2）
(y−3)=64
y－3=±8
y=11或y=－5．
总结提升：本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的计算是解决该问题的关键．
角度4 平方根的实际应用
28．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)求大正方形的边长：
(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？
思路引领：（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
（1）
解：大正方形的边长为acm，则，
∵，
∴．
答：大正方形的边长为8cm．
（2）
解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则，
解得，
∵，
∴，
，，
∵大正方形的边长为8cm，符合．
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48．
总结提升：本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
29．（2020秋·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求，的平方根；
（2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；
（3）求的值．
思路引领：（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可；
（2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可；
（3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可．
（1）∵，
∴的平方根是，
∵，
∴的平方根是．
（2），
，
，
，
，
，…，
规律是：每四个相邻次方为一个循环，
用式子表示为：，，，（其中是正整数）．
（3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0，
∵，
∴原式．
总结提升：本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键．