白城市第一中学2025届高三上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份白城市第一中学2025届高三上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若定义在R的奇函数在单调递减,且,则满足的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．双曲线的右焦点为F,点B在y轴的正半轴上,直线BF与C在第--象限的交点为P,,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3．已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．飞机的线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔15km,速度为,飞行员先看到山顶的俯角为,经过后又看到山顶的俯角为,则山顶的海拔高度为( )
A.B.
C.D.
5．如图,在ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且,,连接AC,MN交于P点,若,则的值为( )
A.B.C.D.
6．边长为2的正方形ABCD,点P在正方形内（含边界）,满足,现有下列结论:
①当点P在线段BD上时,则
②的取值范围为
③当点P在线段BD上时,的最小值为
④的最大值为12
则结论中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7．已知函数在处取得极值,且,,若的单调递减区间为;则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系中,已知点为抛物线上一点,若抛物线E在点M处的切线恰好与圆:相切,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设数列的前n项和为,且,若,则下列结论正确的有( )
A.
B.当时,取得最小值
C.当时,n的最小值为7
D.当时,取得最小值
10．某网络销售平台,实施对口扶贫,销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位:万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比,绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比),下列说法正确的是( )
A.2020年的总销售额为1000万元B.2月份的销售额为8万元
C.4季度销售额为280万元D.12个月的销售额的中位数为90万元
11．在圆O的内接四边形中，，，，则( )
A.B.四边形的面积为
C.D.
12．如图,在菱形ABCD中,,,沿对角线BD将折起,使点A,C之间的距离为,若P,Q分别为直线BD,CA上的动点,则下列说法正确的是( )
A.当,时,点D到直线PQ的距离为
B.线段PQ的最小值为
C.平面平面BCD
D.当P,Q分别为线段BD,CA的中点时,PQ与AD所成角的余弦值为
三、填空题
13．已知函数对于任意,都有,且当时,.若函数恰有3个零点,则m的取值范围是________.
14．已知函数,则________.
15．在等腰梯形中,,,P是腰上的动点,则的最小值为________.
四、双空题
16．函数的部分图象如图所示,若,且,则________,________.
五、解答题
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的右顶点为A，，过坐标原点的直线l与C交于E，F两点，与直线AB交于点M，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的5倍，求直线l的斜率．
18．已知等差数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）设等比数列满足,,问:与数列的第几项相等?
（3）在（2）的条件下,设,数列的前n项和为.求:当n为何值时,的值最大?
19．已知数列的前n项和为,,且.
（1）求数列的通项;
（2）设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
20．一款游戏规则如下:掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面向前跳2步,若出现反面向前跳1步.
（1）若甲乙二人同时参与游戏,每人各掷硬币2次,
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率;
②记甲乙二人向前跳的步数和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
（2）若某人掷硬币若干次,向前跳的步数为的概率记为,求的最大值.
21．数列,的每一项都是正数,,,且,,成等差数列,,,成等比数列.
（1）求数列,的值.
（2）求数列,的通项公式.
（3）记,记的前n项和为,证明对于正整数n都有成立.
22．如图,在多面体中,四边形为菱形,四边形为矩形,且,,,M是线段上的一个动点,且.
（1）试探究当为何值时,平面,并给出证明;
（2）若平面与平面夹角的余弦值为,求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为定义在R上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得:
或或
解得或,
所以满足的x的取值范围是,
故选:D.
2．答案：A
解析：设双曲线的左焦点为,连接,,由,且,
得,,根据定义及性质有,,所以
由勾股定理得,即.
3．答案：A
解析：由,得,
因为函数是定义在R上的偶函数,
所以可化为
因为在区间单调递增,
所以,所以,
所以,
因为,当且仅当,即时取等号,
所以,解得,
即a的取值范围是,
故选:A
4．答案：D
解析：如图,,,
在中,,所以,
过C作于D,
山顶的海拔高度为
故选:D.
5．答案：D
解析：,,
,
设,则即,
,
故选:D
6．答案：C
解析：①当点P在线段上时,P,B,D三点共线,所以,故①正确;
②建立平面直角坐标系,如图所示,根据题意可得,
,,,,
设P为,m,,
因为,
所以,所以,
所以,所以,
又因为m,,所以,所以,故②错误;
③由①知,,,
则,
当时,取得最小值,故③正确;
④,,
所以,m,,
,
表示点到直线的距离,如图所示,点到直线的距离最大,最大值为,
所以的最大值为,故④正确.
故选:C
7．答案：D
解析：由可得,由条件可得,故,由可得,故.
对于方程,,当且仅当时取等号,与矛盾,故等号不成立,即,故方程有两个实数根:,,由,得,故,
因为函数的单调递减区间为,容易判断,,于是.
故选:D.
8．答案：C
解析：由点为抛物线上一点,可得,解得,
所以抛物线E的方程为,
由,可得,则,
所以抛物线在处的切线斜率为1,则切线方程为,即.
圆的圆心为,半径为,
又抛物线E在点M处的切线恰好与圆C相切,可得,
解得或（舍去）.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：由得,
,,…,,
累加得,,
故,当时,满足上式,
,
当时,,,故选项A正确;
由于函数,其图象对称轴为,当时函数递增,
故当时,单调递增,又,,
单调递增,且,
当时,单调递减,当时,单调递增,且,
当时,取得最小值,故选项B正确;
当时,单调递增,又,,
当时,n的最小值为8,故选项C错误;
当时,;当,6,7时,;当时,,
当,6,7时,考虑的最小值,
又当,6,7时,恒为正且单调递减,恒为负且单调递增,
单调递增,当时,取得最小值,故选项D正确,
故选:.
10．答案：AC
解析：对A:根据双层饼图得3季度的销售额和为300万元,3季度的销售额占总销售额的百分比之和为30％,所以2020年的总销售额为（万元）,故A正确;
对B:2月份销售额为（万元）,故B错误;
对C:4季度销售额为（万元）,故C正确;
对D:根据双层饼图得12个月的销售额从小到大（单位:万元）:50,50,60,60,60,80,90,100,100,110,120,120,所以12个月的销售额的中位数为:（万元）,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：由题意，，故，
在中，由余弦定理，
在中，由余弦定理，
故，解得，又，故
故，解得，A正确；
，B正确；
在中，，
在中，，
，C错误；
，
又
，故，D正确.
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：取的中点O,连接,,由题意可知:,
因为,所以,
又易知,,
因为,,,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面,故C正确;
以O为原点,,,分别为x,y,z轴建立坐标系,
则,,,,
当,时,,,
,,
所以点D到直线PQ的距离为,故A错误;
设,,由得,,
,
当时,,故B正确;
当P,Q分别为线段BD,CA的中点时,
,,,,
设PQ与AD所成的角为,
则,
所以PQ与AD所成角的余弦值为,故D正确;
故选:BCD
13．答案：
解析：由对任意都成立,所以函数的图像关于直线对称,
先作出函数在上的图像,再作出这部分图像关于直线对称的图像,
得函数的图像,如图所示:
令,得,令,则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数,
因为,所以的图像关于轴对称,
且恒过定点,当函数的图像过点时,,
过点作函数的图像的切线,
设切点为处的切线方程为,
又切线过点,所以,所以切线的斜率为e,
即当时,的图像与函数的图像相切,
由图可知,当且仅当时,
和恰有3个交点,即恰三个零点.
故答案为:
14．答案：5
解析：由题意得,,
.
故答案为:5.
15．答案：
解析：如图,过点D作于点E,过点C作于点F,
,,,
,故,
以A为原点,射线为x轴正半轴建立直角坐标系,则,,
设,其中,则,,
,
,
当时,取最小值.
故答案为:.
16．答案：/;/
解析：由题设,又,则,
,则,,故,,
由且是y轴左侧第一个零点,故,即,则,
由图知:,关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称,即对称,
所以,
由,且,
所以,
而,则
.
故答案为:,
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，
又，所以，，则双曲线C的方程为；
（2）由（1）可得，，
则直线AB的方程为，
设，，，，由题意可知，，
由的面积是面积的倍，可得，即，
所以，
由，消去y，可得，解得，
由，消去y，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
当时，，，符合题意，
所以直线l的斜率为.
18．答案：（1）
（2）第63项
（3）当时,的值最大
解析：（1）依题意,设等差数列的公差为d,
则,又,得,解得,
所以;
（2）设等比数列的公比为q,
则,,所以,,
所以,令,解得.
故是数列的第63项;
（3）由（2）可知,则,
所以
,
令,则,
由于,当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,
且,,
所以当时,有最大值且最大值为.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,,
,,
当时,由①,
得②,①②得
,,,
又是首项为,公比为的等比数列,
;
（2）由,得,
所以,
,
两式相减得
,
所以,
由得恒成立,
即恒成立,
时不等式恒成立;
时,,得;
时,,得;
所以.
20．答案：（1）①;
②答案见解析;
（2）.
解析：（1）①设甲向前跳的步数为Y,乙向前跳的步数为Z,
则,
,
,
所以,
所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率.
②由①知X所有可能取值为4,5,6,7,8,
所以,,,,,
随机变量X的分布列为
.
（2）由题意得,,当时,,
,
所以,
,,当n为奇数时,,;
当n为偶数时,,,
时,,所以,
且数列为递减数列,所以的最大值为.
21．答案：（1）24;36;
（2）,;
（3）证明见解析.
解析：（1）由得,
又得,
（2）,,成等差数列,①,
又,,成等比数列,,②
当时,③
由②③代入①得,,
是以为首项的等差数列,
则,
时,,
经验证也符合,.
（3）由（2）知,
则
成立.
22．答案：（1）,证明见解析
（2）
解析：（1）当时,平面,证明如下:
设,则O为的中点,连接,
若平面,且平面,平面平面,
可知,
又因为,可知为平行四边形,
则,可知;
当时,M为的中点,
因为M为的中点,四边形为矩形,所以,
又因为,所以四边形为平行四边形,所以,
且平面,平面,
所以平面;
综上所述:当且仅当时,平面.
（2）因为四边形为菱形,且,,
所以为等边三角形,且.
取的中点G,连接,则,
又,,,,平面,
所以平面,
以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,,
设,由可得,
所以,,,即,
所以,.
设平面的法向量为,则,
令,则,.可得,
由题意可知:为平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,
则,
整理得,解得或（舍）,
所以的值为.
X
4
5
6
7
8
P