2024~2025学年江苏省九年级上学期期末模拟测（无锡专用）数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年江苏省九年级上学期期末模拟测（无锡专用）数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线中，，
对称轴是直线．
故选：B．
2. 将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】移项得,x2+4x=−3，
配方得,x2+4x+4=−3+4，
即(x+2)2=1.
故答案选A．
3. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A. 6.5B. 5.5C. 3.5D. 2.5
【答案】C
【解析】连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
4. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，
∴得到抛物线的解析式为，
故选：C.
5. 2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州的一处世界文化遗产．现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图为：
共有9种等可能的情况数．其中甲和乙拿到同一种吉祥物的有3种情况，
则甲和乙拿到同一种吉祥物的概率是．
故选：C．
6. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：D．
7. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，

∵同弧所对的圆周角相等，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点，使得与原三角形相似，则的长是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】由题意知，分，两种情况求解；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
综上所述，的长是或，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连接交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连接．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
中，∵，
∴，
∴；故①正确；
③∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵与不一定相等，
∴与不一定相等，
则与不一定相等，即与不一定相等，
∵
所以，不一定等于，故②不正确；
④∵，
∴，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，
又
∴
∴．故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
10. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵Mx1,y1与Nx2,y2是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 方程的解为________．
【答案】，
【解析】
∴
故答案为：
12. 甲乙丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为，，，则数据波动最小的一组是_____
【答案】丙组
【解析】，，，
，
数据波动最小的一组是丙组．
故答案为：丙组．
13. 因为物价上涨，某商品连续两次提价，每件由元提高到元．则平均每次提高的百分率为___________．
【答案】
【解析】设平均每次提高的百分率为x，
，
，
或，
，，
故答案为：．
14. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_____．
【答案】8
【解析】，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，解得：，
故答案为：8．
15. 如图，正方形的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆，则阴影部分的面积等于__________．
【答案】8
【解析】易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO，
则图中的四个小弓形的面积相等，
∵两个小弓形面积=×π×22-S△AOD，∴两个小弓形面积=2π-4，
∴S阴影=2×S半圆-4个小弓形面积=π×22-2（2π-4）=8，
故答案为：8．
16. 如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边上，则的长为___．
【答案】
【解析】∵正方形的边长为10，∴，
过点G作，则，
∴四边形是矩形，
∴
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中
∴，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
同理，
∴，∴，
∴小正方形的边长为，
∴．
17. 如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是△ABC的内心，若⊙O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是_____．
【答案】π
【解析】如图，连接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O 于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA为半径作⊙T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BG．推出点I的运动轨迹是即可解决问题．
∵AB是直径,
∴∠ACB＝90°,
∵I是△ABC的内心,
∴∠AIB＝135°,
∵OT⊥AB,OA＝OB,
∴TA＝TB,∠ATB＝90°,
∴∠AGB＝∠ATB＝45°,
∴∠AIB+∠G＝180°,
∴A，I，B，G四点共圆,
∴点I的运动轨迹是,
由题意 ,
∴∠MTM＝30°,易知TA＝TM＝3,
∴点I随之运动形成的路径长是,
故答案为．
18. 如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB向右平移得到△O1A1B1，平移后的O1A1与抛物线交于点P，若点P将线段A1O1分成1：3两部分，则点P的坐标为_____．
【答案】（1，1）或（，3）
【解析】∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2，
∵点A（﹣2，4），
∴AB＝4，OB＝2，
∵将Rt△OAB向右平移得到△O1A1B1，
∴A1B1＝AB＝4，O1B1＝OB＝2，
作PQ⊥x轴于Q，
∴PQ∥A1B1，
∴△PO1Q∽△A1B1O1，
∴＝，
∵点P将线段A1O1分成1：3两部分，
∴＝或，
∴PQ＝1或3，
∴P的纵坐标为1或3，
当y＝1时，代入y＝x2，解得x1＝1，x2＝﹣1，
∴P（﹣1，1）（不合题意舍去）或（1，1）；
当y＝3时，代入y＝x2，解得x1＝，x2＝﹣，
∴P（﹣，3）（不合题意舍去）或（，3）；
综上，P点坐标为（1，1）或（，3）；
故答案为（1，1）或（，3）．
二、解答题（本大题共10小题，共66分）
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）
解：（1）
∴；
（2）
∴
．
20. 由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分，且20≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表，其中第2、第5两组测试成绩人数之比为4：1，请结合下表中相关数据回答问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，现在从这组中随机选取2人介绍经验，请用列表、画树状图等方法，求出甲、乙两人同时被选中的概率．
解：（1）样本容量为：150.30=50，
第2、第5两组测试成绩人数之和为50-5-15-10=20，
因为第2、第5两组测试成绩人数之比为4:1
第2、第5两组测试成绩人数分别16人、4人，

故答案为：4，0.08．
（2） 甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，
甲、乙两人在第5组，第5组共有4人，把其余2人记为丙、丁
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
甲、乙两人同时被选中的概率为 ．
21. 如图，等腰中，，是中点，．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，，∴，∴．
22. 如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在上取一点C，延长AB至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
（1）求证：CD是的切线
（2）若，，则的长
（1）证明：连接，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
23. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本）
解：（1）设（），
将，代入，得，
解得，，
，
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，
（）
，
当时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
24. 【阅读理解】利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：利用配方法将变形为的形式．
＝＝．
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式化成的形式．
（2）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．
（1）解：
＝＝；
（2）证明：＝
＝，
故不论x，y取任何实数，多项式值总为正数．
25. 在中，，，垂足是D点，点E在线段上，联结，过点D作的垂线，交的延长线于F，交于G，交于H．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）已知：，，当是等腰三角形时，求的长（直接写出计算结果）
解：（1）∵，
∴，
∵，

∴，
∴，
同理，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①如图1中，当时，作于M．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图2中，当时，连接．

∵，，
∴平分，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
③如图3中，当时，作于M，于N．

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由可得：，
∴，
∴．
综上：的长为或或．
26. 抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值．
解：（1）在直线中，当时，；
当时，即，
解得：；
，，
点，在抛物线上，，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为：，
当时，即，
解得：，，
∴，
设点，点，
①当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，解得：，
∴；
②当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，解得：
∴，
综上：点N的坐标为：或；
（3）如图1，连接，延长交轴于，
轴，轴，

设，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，
当时，有最大值是．学习积分频数分布表
组别
成绩x分
频数
频率
第1组
20≤x＜30
5
第2组
30≤x＜40
第3组
40≤x＜50
15
030
第4组
50≤x＜60
10
第5组
60≤x＜70
a
b
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
x/元
15
20
25
30
y/袋
25
20
15
10