2024-2025学年甘肃省兰州市安宁区高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市安宁区高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知命题，命题，，则成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．数列{an}的通项公式，其前项和为，则
A．B．C．D．
6．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
7．将余弦函数y＝csx的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sinx的图象，则m＝( )
A．B．π
C．D．
8．若且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．下列命题中不正确的是（ ）.
A．若､､､是空间任意四点，则有
B．若，则､的长度相等而方向相同或相反
C．是､共线的充分条件
D．对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面
三、填空题（本大题共3小题）
12．设全集，集合，则等于
13．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ．
14．设定义在上的函数，给出以下四个说法：
①的周期为；
②在区间上是增函数；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称．
以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题（写成“”的形式） ．（其中用到的说法用序号表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数,
（1）计算函数的导数的表达式;
（2）求函数的值域.
16．已知正项数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和的表达式.
17．（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；
（2）已知，，，求点的坐标使得；
（3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且.
18．电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本）
(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
19．设函数．
（1）已知在点处的切线方程是，求实数，的值；
（2）在第（1）问的条件下，若方程有唯一实数解，求实数的值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意，全集，集合，
所以或
故选:C.
2．【正确答案】A
【分析】分别由命题求得的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解不等式可得，
对于命题，当时，命题明显成立；
当时，有，解得，
即命题为真时，
故成立是成立的充分不必要条件.
故选A.
3．【正确答案】A
【详解】依题意可得，
由二次函数性质可得若一元二次不等式对一切实数都成立，
需满足，
解得，即的取值范围是.
故选：A
4．【正确答案】A
【详解】易知，所以，
所以.
故选：A
5．【正确答案】C
【详解】试题分析：根据三角函数的周期性可
，同理得，可知周期为4，
．
考点：三角函数的周期性及数列求和．
6．【正确答案】C
【分析】计算，然后根据，可得，最后可得结果.
【详解】由题可知：，
则解得，.
经检验，当，时，在处取得极大值，
所以.
故选：C
本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.
7．【正确答案】C
【详解】根据诱导公式得，y＝－sinx＝cs＝cs，故欲得到y＝－sinx的图象，须将y＝csx的图象向右至少平移个单位长度．
8．【正确答案】D
【分析】对于ABC，举反例排除即可；
对于D，利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，令，则，但，故A错误；
对于B，令，则，但，故B错误；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，因为，则，即，
又，所以，故D正确.
故选：D.
9．【正确答案】AC
设出直线的点法向式方程为(、不同时为)，先讨论或均不合题意，即，然后求出横纵截距，由两截距相等得出，代入即得直线方程．
【详解】设所求直线方程为(、不同时为)，
显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，
当时，，当时，，
根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，
令，则，整理，得，
解得，或，则，或，
故所求直线方程为或，
故选：AC.
10．【正确答案】CD
分两类：和，设，由的斜率求得中其他两边，得，即可得离心率．
【详解】当时，设，则由于，∴，，
∵，，∴椭圆的离心率为，
当时，设，则由于，∴，，
∵，，∴椭圆的离心率为，
故选：CD.
11．【正确答案】ABD
【分析】本题考查向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.
【详解】A选项，而不是，故A错，
B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，
C选项，，
即，
即，与方向相反，故C对，
D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量､､表示，
∴､､､四点不一定共面，故D错，
故选ABD.
12．【正确答案】
【详解】由，，可得.
故
13．【正确答案】
【详解】解：当a=0时，不等式等价于，恒成立，所以a=0符合条件.
当时，不等式等价于，即 ，解得：，
所以a的范围为.
故答案为 .
14．【正确答案】①④②③（答案不唯一）
【详解】解析：答案不唯一，比如：
①的周期为，则，函数．
若再有④的图象关于直线对称，则取得最值，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，此时②③成立，故①④②③．
再如：
若①的周期为，则，函数，
若再有③的图象关于点对称，
则，又因为，所以，
所以，此时②④成立，故①③②④．
故①④②③（答案不唯一）
15．【正确答案】（1）;（2）.
（1）根据导数的运算法则求导即可;
（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.
【详解】解: （1）因为,
所以.
故函数的导数;
（2）,
,
函数在上是单调增函数,
所以,
所以;
故函数的值域为.
16．【正确答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用可将题设中的递推关系转化为，利用等差数列的通项公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）正项数列的前n项和为，满足，
所以，
整理得：，
由于数列为正项数列，所以（常数），
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，易见也适合该式.
故.
（2）由于，
所以
.
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
17．【正确答案】（1）；（2）；（3）①21，②，③，
【详解】（1）∵与共线，故可设，由得：，
故，∴；
（2）设，则，，，
∵，
∴，
∴点坐标为；
（3）①，
②∵，，设向量与的夹角为，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
③取轴上的单位向量，，依题意，
即，故，
解得，.
18．【正确答案】(1)
(2)当2018年产量为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元
【详解】（1）根据题意，当时，
；
当时，；
故；
（2）根据题意，当时，，
当时，；
当时，，
当且仅当时等号成立，则有；
由，故；
故当时，即当2018年产量为为100百辆时，
该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.
19．【正确答案】（1），；（2）．
【详解】（1）当时，可得，所以，即，
因为，即，即
联立方程组，解得，．
（2）由方程有唯一实数解，即有唯一实数解，
设，则，
令，
因为，所以，且，所以方程有两异号根，
设，，因为，所以应舍去，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
当时，，取最小值，
因为有唯一解，所以，则，即，
因为，所以．（*）
设函数，
因为当时，是增函数，所以至多有一解，
因为，所以方程（*）的解为，
将代入，可得．
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.