2024-2025学年福建省三明市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若共线，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知，已知，则以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．64B．85C．85D．64
6．已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ）
A．B．C．D．或
7．已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
8．数列的前项和为，则（ ）
A．存在最大值，且最大值为B．存在最大值，且最大值为30
C．存在最小值，且最小值为D．存在最小值，且最小值为30
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若满足，则一定是等差数列
B．若满足，则一定是等比数列
C．若，则既是等差数列也是等比数列
D．若成等比数列，则
10．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ）
A．直线与圆相交B．的最小值为
C．存在点，使得D．直线过定点
11．在正方体中，，，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C．若，则三棱锥的体积为定值
D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线：与垂直，则 ．
13．已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 .
14．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16改造为绿洲，同时原有绿洲的4被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．至少经过 年，绿洲面积可超过60？（）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前项和为，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前10项的和．
16．在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为；
(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
18．已知椭圆长轴长为，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)点在椭圆上，且异于点，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
19．已知数列，若为等比数列，则称具有性质.
(1)若数列具有性质，且，，求的值；
(2)若，判断并证明数列是否具有性质；
(3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式.
答案
1．【正确答案】D
【详解】直线的斜率，即，为倾斜角，
所以.
故选：D
2．【正确答案】C
【详解】因为，共线，
所以，解得，
所以.
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】因为，解得，
故选：D.
4．【正确答案】A
【详解】因为以为直径两端点的圆的圆心坐标为，
半径为，所以所求圆的标准方程为，
即以为直径的圆的方程为.
故选：A
5．【正确答案】C
【详解】∵，
∴，∴，
∴，
，
故选：C.
6．【正确答案】A
【详解】的渐近线方程为，
因此，故，
故离心率为，
故选：A
7．【正确答案】B
【详解】函数对任意都有，
数列满足①
又②
①②得：，
得.
故选：B.
8．【正确答案】B
【详解】根据题意，，
当时，，
两式相减得：，
即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列，
则，所以，
可知存在最大值，为.
故选：B
9．【正确答案】AD
【详解】对A：由满足，则是的等差中项，
故一定是等差数列，故A正确；
对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误；
对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误；
对D：若成等比数列，设公比为，
则有，，则，故D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】BCD
【详解】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确；
对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为
即，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为，
即，由可得，
即直线AB过定点，故D正确；
故选：BCD
11．【正确答案】ABC
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、、、
、，
因为，
对于A选项，当时，、、三点共线，
则点的轨迹为线段，故A正确；
对于B选项，若，即点，
此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，故B正确；
对于C选项，若，即点，其中，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，则点到平面的距离为，
因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D选项，若，则，其中，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，取最小值，此时取最大值，且，
则，
因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，故D错误.
故选：ABC.
12．【正确答案】
【详解】，∵，∴，
∴，即，
∴，∴，
故
13．【正确答案】
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，
若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，
故，
则，两式相减得，
即，
由于弦的中点坐标为，故，
所以，即，故，
故直线的方程为，即.
故
14．【正确答案】6
【详解】由题意得
，
所以，
则，
又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则．
令，即，
两边取常用对数得，
所以
，
所以，
所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
故6.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，则，公差，
所以等差数列首项，公差，
∴
（2）令，得，
则前2项为负数，从第3项起为正数，
∴
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
在直角三角形中，，为中点，所以，
又，所以，
所以°，即，
又∵，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）
由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
则，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设平面的法向量为，则，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【正确答案】(1)证明见解析，；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
（2）由，则，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
18．【正确答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【详解】（1）由椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0长轴长为，焦距为，
即，，∴，
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
所以当时，的方程为或
（3）直线均不与轴垂直，所以，则且，
所以
，
所以为定值．
19．【正确答案】(1)；
(2)数列具有性质，证明见详解；
(3)
【分析】（1）根据数列具有性质可得为等比数列，根据等比数列性质可求得答案；
（2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明；
（3）求出，可得，进而推出，分为奇、偶数，求出，综合可得答案.
【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为，
由得，
，又，.
（2）数列具有性质；证明如下：
因为，
所以，
则，即为等比数列，
所以数列具有性质.
（3）因为，则.
当，，
故，
适合该式，故，
所以由，
得
，
因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，
故，.
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
故.
关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题.