2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．经过点且与直线平行的直线方程是
B．直线的一个方向向量为
C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
D．，，三点共线
3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A．B．1C．D．0
5．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）

A．B．C．D．
8．已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列，满足为的前项和，且，则（ ）
A．数列为等差数列B．
C．D．或时，取得最大值
10．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆恒相交
C．的最小值为
D．若点在圆上，则的最小值是
11．已知椭圆，分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在4个点M，使得B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与直线平行，则它们之间的距离为 .
13．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 .
14．已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆心为的圆与直线相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度.
16．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，.
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程.
17．记为数列的前项和，已知，且，.
(1)证明：为等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
18．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与坐标原点构成三角形，求面积的最大值．
19．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
答案
1．【正确答案】C
【详解】∵各项均为正数的等比数列中，，
∴.
故选：C.
2．【正确答案】C
【详解】A：令过点且与直线平行的直线为，
则，故所求直线为，对；
B：直线的斜率为，则一个方向向量为，
显然与向量平行，故向量也是一个方向向量，对；
C：当直线过原点时，直线方程为，错；
D：由，故三点共线，对.
故选：C
3．【正确答案】B
【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解.
【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选B.
【思路导引】根据题目条件，抛物线的焦点和双曲线的一个交点重合，则，解得，从而解得双曲线的渐近线方程.
4．【正确答案】C
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得．
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】当直线斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，
而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，
即，
代入椭圆的方程化简得，
所以，解得，
故直线方程为，即.
故选：B.
6．【正确答案】A
【详解】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故选：A
7．【正确答案】B
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
8．【正确答案】B
【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即，
设，则，
所以，
因为C的长轴长大于，所以，，
所以，解得，所以.
故选：B.
9．【正确答案】ACD
【详解】对A，，
则数列为等差数列，故A正确，
对B，，则，
则，则，则，则，故B错误，
对C，，则，故C正确，
对D，，开口向下，对称轴为，
，故当或时,取得最大值，故D正确，
故选：ACD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于选项A，直线，
可得当时方程恒成立，即直线恒过定点2,3，
故A正确；
对于选项B，因为直线恒过定点2,3，根据圆M的标准方程可得，
，所以点在圆M内，所以直线与圆恒相交，
故B正确；
对于选项C，如图所示，设为点P，则，
当直线l于MP的连线垂直时，取得最小值，
此时由圆的弦长公式可得，，
故C错误；
对于选项D，
可将其看成点到点距离的平方再减1，
由于是圆上的点，如图所示，
，连结，则ME于圆的交点即为,
此时取得最小值，
故此时的最小值为，
故D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】AD
【详解】对于A中，由椭圆，可得，
由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点，
所以存在4个点M，使得，故A选项正确；
对于B中，设，则，且，可得，
则为定值，故B选项错误．
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，故C选项错误．
对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于，
如图所示，则，
因为，且，
可知，即，当与重合时，等号成立，
所以，
所以，故D选项正确.
故选：AD．
12．【正确答案】/0.5
【详解】由题意，可得，故可写为，
所以两直线距离为.
故
13．【正确答案】
【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为，
所以圆在点P处的切线方程为，可得.
故
14．【正确答案】
【详解】设,则由,
得，
则，，
点,在双曲线上,
，则
，
设分别为直线,的斜率,根据题意,
可知,即，
，即
在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为，
由双曲线定义可知||为定值，该定值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直线与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；
（2）圆C与圆相交于A，B两点，线段即为两圆的公共弦．将两圆的方程的相减，得到二元一次方程，即为公共弦所在直线的方程，在利用圆的弦长公式求出线段的长度.
【详解】（1）圆与直线相切，
圆心到直线的距离等于圆的半径.
因此半径，
圆的标准方程为.
（2）圆与圆相交于两点，
由两式相减得方程:，
直线的方程即为.
圆心到直线的距离为，
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）
由题意得，，
把代入得，即，
∴，解得，
∴的方程为.
（2）
由（1）得直线斜率存在，F1,0，
设，
由得，，
∴，
由得，，解得，
∴直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将原式两边同时除以，构造等差数列即可；
（2）由（1）可得，根据得到与的关系式，再利用累乘法求解即可；
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1），，
，，
数列是首项为1，公差为的等差数列；
（2），
即，
，
两式作差得，
即，
，
即，，
，；
（3），
，
，
，
.
18．【正确答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）抛物线的焦点坐标为，椭圆的半焦距
由题可知解得，
椭圆的标准方程为.
（2）设点．
三点构成三角形，所以直线的斜率存在且不为
则可设直线的方程为
联立
消去整理得．
由得
即
，
=
易知，点到直线的距离
设
则
当且仅当即时等号成立，
面积的最大值为
19．【正确答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，即，数列是“凹数列”．
（2）因为等差数列bn的公差为，
所以，
因为数列是凹数列，
所以对任意恒成立，
即
所以，即，
因为，
解得．
所以的取值范围为．
（3）先证明必要性：
因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，
所以对任意的，当时，
有，
所以，
又因为，
所以，必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的，当时，有，
取，则有，
即，所以为“凹数列”.