2024-2025学年福建省三明市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在四棱柱中，设，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线在x轴上的截距为1B．直线在y轴上的截距为1
C．若，则或D．若，则
10．在正方体中，则（ ）
A．直线与直线所成角为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的余弦值为
D．如果，那么点到平面的距离为
11．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（ ）
A．当的最大角为时，椭圆的离心率为
B．当时，的面积为
C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ．
13．已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知三角形ABC的顶点坐标为．
(1)求过点C且与边AB平行的直线方程；
(2)求AB边上的高所在的直线方程．
16．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．
(1)求实数的值；
(2)当时，求过点并与圆相切的直线方程．
17．已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.
(1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；
(2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
(3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.
答案
1．【正确答案】C
【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；
【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为
故选：C
2．【正确答案】D
【详解】由题意知，，
又，所以，且两直线之间的距离为
.
故选：D
3．【正确答案】A
【分析】运用圆的标准方程即可求解
【详解】方程表示圆，
则，
解得，即的取值范围为.
故选：A.
4．【正确答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
，
故选C.
5．【正确答案】A
【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为.
故选：A
6．【正确答案】D
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点在准线上的射影为，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时取得最小值，
此时点的横坐标为，则，解得，即.
故选：D.
7．【正确答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为点是直线上任意一点，
又直线与直线的距离为：
，
即圆心到直线的距离为：,
因为圆与双曲线C的右支没有公共点，
所以，即，又,
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B
9．【正确答案】AD
【详解】选项A：令，代入直线，解得：，选项正确；
选项B：令，代入直线，解得：，选项错误；
选项C：直线的法向量分别为，，因为，所以直线的法向量也平行，即：，解得：或，当时，重合，舍去，故选项错误；
选项D：，所以直线的法向量也垂直，即，解得：，选项正确；
故选：AD.
10．【正确答案】AB
【详解】如图所示：
设正方体的边长为1，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，所以直线与直线所成角为，A正确；
设面的一个法向量为，，
则，即，
不妨令，得，即取，
又因为，
设直线与平面所成角为，则，B正确；
设平面的一个法向量为，，
则，即，
不妨令，得，即取，
又面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，C错误；
因为面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，D错误.
故选：AB.
11．【正确答案】ABD
【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断.
【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点，
此时，故A正确；
对于B，当时，
由，得，
所以的面积为，又，
所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确；
对于C，设，又，
则，，
所以，
而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误；
对于D，因为，
所以，又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解.
12．【正确答案】
【详解】圆，化成标准方程为，
圆心坐标为半径，
圆，圆心坐标为半径，
由两圆相内切，则圆心距，解得.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由，得，解得，
又，得，解得，
所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设，
因为垂直于轴，所以代入椭圆方程，
得，所以，
设，
联立，消去整理得，，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
16．【正确答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）因为圆的半径，，
所以圆心到直线的距离，
所以，所以，
所以或.
（2）因为，所以，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
圆心到的距离为，所以与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
所以，所以直线方程为，
所以过点并与圆相切的直线方程为或.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意可知，，因为，所以
设，则，所以，
又，
所以
所以双曲线的方程为
（2）由题意知直线的方程为，，.
联立，化简得，
因为直线与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或
18．【正确答案】(1)证明见详解
(2)（i），（ii）存在点，.
【详解】（1）如图，取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
又，，
，，
所以四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
（2），，又，，
，则，
又平面平面，平面平面，
平面，
，又，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
（i）设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，
又平面的一个法向量为，
，
所以二面角的余弦值为.
（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设，，，
，
由（i）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，
则，解得或，
又，所以，
即存在点到平面的距离为，且.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为，
.
在半椭圆中，
由，
，
解得，
因此“曲线”的方程为.
（2）证明：设Px,y，则，.
，开口向下，
对称轴为：，
当或时，
取得最小值时，即在点或处.
（3）由题可知，直线的斜率，则设直线，
设在上，
当时，.
设在半椭圆上，
当时，.
的中点为,
即线段中点的轨迹方程为.