2023-2024学年四川省成都市青羊区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区九年级上学期数学期末试题及答案，共35页。
2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在答题卡相应位置．
3．第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答；第Ⅱ卷为非选择题，用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题均无效．
5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. ，整理可得，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B. ，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C. ，仅当时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直于圆柱底面的截面是长方形，可得答案．
【详解】解：由水平面与圆柱的底面垂直，
得知水面的形状是长方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了认识立体图形，垂直于圆柱底面的截面是长方形，平行圆柱底面的截面是圆形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，对各选项分析判断后求解即可．
【详解】A、与不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 如图，的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵，，
，
，
．
故选：B．
5. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得，即可求解．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点（），，
∴．
故选：D
6. 已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合思想．根据图象结合交点坐标即可求得．
【详解】由图象可知，当时的取值范围是或，
故选：A．
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 平行四边形对角相等
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除．
【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
8. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】∵，
，，，
选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知点，是反比例函数图象上两点，且，则______（填“”，“”，或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴该反比例函数位于第一、三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵点，是反比例函数图象上两点，且，
∴，即
故答案为：
10. 根据哈勃太空望远镜观测到的星系密度，宇宙中大约有超过2万亿个银河系，而人们已经发现的和观测到的行星数量约为个，将用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子约分．先算括号内的，再分解因式约分．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于3，
∴的面积为．
故答案为：
13. 如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是______．

【答案】##87度
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，接着根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】由作法得垂直平分，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）先化简负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质，零指数幂，然后再计算；
（2）运用公式法解一元二次方程．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，，，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质，零指数幂，解一元二次方程，理解绝对值和二次根式的性质，掌握负整数指数幂，零指数幂的运算法则及公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）作关于y轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标．点的坐标为（______，______）；点的坐标为（______，______）．
（2）的顶点坐标分别为，，，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（______，______）
【答案】（1）；0；；2
（2）0；
【解析】
分析】本题考查作图轴对称变换、位似变换；
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接，，，相交于点，则点即为位似中心，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求．

点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；0；；2．
【小问2详解】
如图，作射线，，，相交于点，
则点为与的位似中心，
点的坐标为．
故答案为：0；．
16. “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有______人；
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了概率，条形统计图，扇形统计图，
（1）根据B类人数和所占百分比即可得；
（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，即可补全条形统计图，根据百分比的意义求出A组和C组所占百分比，即可补全扇形统计图；
（3）假设C、D饺子含有硬币，画树状图得共有种等可能的结果，小明吃到C、D的结果有2个，即可得；
掌握概率，条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：C组的人数：（人），
补全条形统计图如下：
A组人数所占百分比：，
C组人数所占百分比：，
补全扇形统计图如下：
【小问3详解】
解：假设C、D饺子含有硬币，画树状图如下：
共有种等可能的结果，小明吃到C、D的结果有2个，
∴他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率为：．
17. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形：
（2）若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
【答案】（1）见解析 （2）点F到线段的距离为
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；
（2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积，由勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得答案．
【小问1详解】
∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∴，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．
18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；
（3）目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．
【答案】（1），反比例函数的表达式为
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式，
（1）根据点在上，求出的值，得到点C的坐标，根据点C在上，即可求得反比例函数解析式；
（2）根据与的交点求点坐标，再求直线解析式，根据经过、求直线解析式，根据直线与轴交点求得，再根据等腰三角形三线合一定理即可求解；
（3）根据新定义的含义先画出图形，再分类讨论：当，当，当，再利用函数的交点坐标的含义建立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：点在上，
，即，
点在上，
，即，
，反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：点是与的交点，
，
设直线解析式为，经过，则，
直线解析式为，
点是与的交点，
∴，
设直线解析式为，经过、，
，解得，
直线解析式为，
设直线与轴交于点，则当时，，即，
设直线与轴交于点，则当时，，即，
设直线与轴交于点，
轴，，
，
，，，
，，即，
，即，
，
∴，
射线平分．
【小问3详解】
如图，∵为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设为，则，
解得：，
∴为，
∴，
解得：或，
∴或，
当，且平分时，而，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：为，
∴，
解得：或，
∴；
当，且平分时，
同理可得：，
直线为，
∴，
解得：或，
∴；
如图，当，且平分时，
同理可得：，为，
此时不符合题意舍去
如图，当，且平分时，
同理可得：同理可得：，
直线为，
此时不符合题意，舍去，
当，都不符合题意，舍去，
综上：或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，函数的交点问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
19. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了101次，发现有69次摸到红球，估计这个口袋中红球最可能有______个．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，先计算出摸到红球的频率为0.69，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.69，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
【详解】因为小共摸了101次，有69次摸到红球，
所以摸到红球的频率大约为，
所以摸到红球的概率约为0.69，
所以可估计这个口袋中红球的数量为（个，
故答案为：7．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是______，若、满足：，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值．
【详解】方程有两个实数根，，
，
解得：；
原方程的两个实数根为、，
，，
，
，
，
，
，且，
整理得，，
∵，
∴，
∵，
∴解得：．
故答案为：，．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点作轴于点D，点E是线段上一动点，连接，，若以B，E，O为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为______．

【答案】，或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时点坐标；当时，，同样方法求此时点坐标．
【详解】设，
当时，，解得，
，
当时，，
，
，轴，
，，
∵，
，
当时，，
即，
解得，
，
解得（舍去），，
此时点坐标为；
当时，，
即，
解得，
，
解得（舍去），，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为，或．
故答案为：，或．
22. 已知四边形是平行四边形，，，于点H，，点E是线段上一点，连接，将沿翻折得到，点D落在延长线上的点F处，交于点G，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，利用勾股定理求出的长，结合平行四边形的性质证明，再结合翻折的性质以及勾股定理的逆定理可得，进而可得．设，则，在中，由勾股定理可得，代入可求出的值，即可得的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】，
．
在中，由勾股定理得，．
四边形是平行四边形，
∴，，，
．
由翻折可得，，，，
在中，由勾股定理得，，
．
∵，
，，
，
，
即，
，，
，，
．
．
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得．
，
．
故答案为：．
23. 如图，和是等腰直角三角形，，点D为中点，连接、，，求的最小值______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接、，由点D为中点可得是等腰直角三角形，即可得到，得到，，进而得到，当时最小，即可求解．
【详解】连接、，

∵点D为中点，是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时
∴的最小值为，
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24. 城市露营成为一种新的周末生活方式，某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，请用含有m的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量；
（3）在（2）问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．
【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
（2）降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
（3）精英型帐篷的售价为元或元．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，连接题意确定相等关系是解本题的关系；
（1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可；
（2）由原有的销售量加上增加的销售量即可得到答案；
（3）由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得：
，解得，
答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
【小问2详解】
降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
【小问3详解】
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴精英型帐篷的售价为元或元．
25. 已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4．
（1）求反比例函数与正比例函数的表达式；
（2）直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标；
（3）在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由．
【答案】（1）反比例函数表达式为；正比例函数表达式为；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积等于4可得，则，利用待定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式；
（2）直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点、，可分两种情况，由可得，即可得点M的坐标；
（3）由直线l1：与正比例函数平行，可得直线正比例函数的图象，过点M作轴于点C，此时交反比例函数于点P，，过点P作于D，则，在线段上截取，过点M作于点E，求出Q的坐标，利用待定系数法即可得的表达式．
【小问1详解】
解：∵等腰直角三角形，
∴，
∵等腰直角三角形的面积等于4，
∴，
∴，
∴，，
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数表达式为，
设正比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴正比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵点M在正比例函数表达式为和直线：图象上，
∴设，则点N的横坐标为m，
若点在上方时，如图，

∵点N在反比例函数图象上，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
若点在上方时，如图，

∵点N在反比例函数图象上，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
【小问3详解】
解：如图，
∵直线与正比例函数平行，
∴直线正比例函数图象，
过点M作轴于点C，
∵点M的坐标为，
∴此时交反比例函数于点P，，
过点P作于D，
∴，
在线段上截取，则
∵反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为，
∴，
∴，，
∴，
过点M作于点E，
∵，
∴，
∴，
代入得，
∴，
∴的表达式为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
26. 已知在中，，，过点A作直线，于点D，点E是射线上一动点，连接、，在右侧作，使得．
（1）如图，连接交于点G，求证：；
（2）在（1）问条件下，若，试判断的形状并说明理由；
（3）若，延长到点P，使，连接．
当P落在的某条边上时，求的长．
连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）是等边三角形，理由见解析
（3）①或1；②1
【解析】
【分析】（1）先根据相似三角形的性质得到，再证明，即可证明；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，，则，由此可得；由相似三角形的性质得到，则，；再证明，得到，则，即可证明，则是等边三角形；
（3）①如图所示，当点P在上时，可证明，设，则， 则，可得，求出，进而证明，得到，由（2）可知，则；如图当点E与点A重合时，此时点P与点C重合，则；②如图所示，过点F作交直线于M，由相似三角形的性质得到，证明，得到，进而推出，则，即点D为的中点，再由，可得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形；
【小问3详解】
解：①如图所示，当点P在上时，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴；
如图当点E与点A重合时，此时点P与点C重合，则；
综上所述，的长为或1．
②如图所示，过点F作交直线于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即点D为的中点，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.