2023-2024学年四川省成都市郫都区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市郫都区九年级上学期数学期末试题及答案，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若表示是的二次函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：表示是的二次函数，
，
解得．
故选：D．
2. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均在格点上，则的值是（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形．根据锐角三角函数定义求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，，
，
故选：B．
3. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键．
【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得，，
故选：C．
4. 如图，由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，即看到的图形为：
，
故选：A．
5. 如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为1，则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，易证得，又由点是中点，的面积为1，即可求得的面积，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
点是中点，
，，
的面积为1，
，
，
，
．
故选：C．
6. 若关于的方程的一个根为0，则的值为（ ）
A. B. 3C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程求出即可．
【详解】解：方程的一个根为0，
，
．
故选：A．
7. 若三点、、都在双曲线上，则下列的不等关系正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【详解】解：，
双曲线在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，，
点，在第二象限，在第四象限，
，．
．
故选：B．
8. 如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 方程的根的判别式
C. 当时，函数值y随x的增大而增大
D. 不等式的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式．观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，可得抛物线的对称轴为直线，可判断A；再由抛物线与x轴有2个交点，可判断B；然后二次函数的增减性可判断C；再由观察图象得：当或时，，可判断D．
【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴方程有2个不相等实数根，
∴方程的根的判别式，故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴当时，函数值y随x的增大而增大，故C正确，不符合题意；
观察图象得：当或时，，
∴不等式的解集为或，故D不正确，符合题意；
故选：D
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分）
9. 方程的解为 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的关键是分解因式．根据因式分解，可得答案．
【详解】解：，
∴或，
解得，，
故答案为：，
10. 如图，反比例函数为，圆O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，据此得出结论．
【详解】解反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
图中两个阴影面积的和是圆的面积，
圆的半径，
．
故答案为：
11. 将解析式为的抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将解析式为的抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为．
故答案为：
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为_____．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识．根据题意构建不等式组解决问题即可．
【详解】解：由题意得，
解得且．
故答案为：且．
13. 如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若，，则；
若，，则；
若，，则无法证明；
从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种，
能判断的概率为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值；解一元二次方程：
（1）先根据绝对值的性质，零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【详解】解：（1）
（2）
∵，
∴，
∴，
解得：．
15. 如图，一艘渔船从C港出发，销售一批货物至A港，完成销售后需前往正南方向的B港购进原材料，已知在C港测得A港在北偏东方向上，测得B港在南偏东方向上，且量得B、C之间的距离为1000米，根据上述测量结果，请计算A、B之间的距离是多少？（精确到1米，参考数据：，）

【答案】米
【解析】
【分析】过点C作的垂线交于D，由方位角可知，，，利用三角函数值，分别求出和的长，再根据等腰直角三角形的额判定和性质，得到的长，进而求出的长，即可得到答案．
【详解】解：过点C作的垂线交于D，
点在A点的正南方向上，
，，
在中，，
（米），（米），
，，
是等腰直角三角形，
（米），
（米）（米），
即A、B之间的距离是米．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用——方位角问题，平行线的性质，锐角三角函数值，等腰三角形的判定和性质等知识，正确理解方位角，利用三角函数值求出边长是解题关键．
16. 运动员高台跳水，若把整个身体看成一点，则运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，运动员从起跳点到达最大高度点，此时起跳点与最大高度点的水平距离，最大高度点与水面的距离，最后到入水点．
已知跳台高，根据已建的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点A到入水点D的水平距离．
【答案】（1）函数表达式；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，观察图象可得，顶点，从而可设关于的函数表达式为，进而列式计算求出可以得解；
（2）依据题意，对于函数，令，可得，从而求出，，进而可以得解．
【小问1详解】
解：由题意得，，顶点．
可设关于的函数表达式为．
又函数过，
．
．
所求函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意，对于函数，
令，
．
．
．
．
17. 如图，在菱形中，点是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点和点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论；
（2）先求出，再由勾股定理求出，设，则，再由勾股定理得出，求出，从而得到是等边三角形，然后求出．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解，，
，
由（1）知，，
，
，
由（1）知，，
，
，
在中，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即，
，
，
是等边三角形，
又四边形是菱形，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，关键是证明三角形相似．
18. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上．点是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．已知，．
（1）求的值；
（2）当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
（3）延长、交过点的双曲线分别于点、，连接，求证：．
【答案】（1）；
（2）当时，有最大值，最大值是6；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由与的长，根据位于第一象限点，即可确定出的坐标，由过点的反比例函数的图象与边交于点，可得，两点坐标分别为，，再求出、的长，即可解决问题；
（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；
（3）先确定出点，坐标，进而求出直线，的解析式，再求出过点的双曲线的解析式，进而表示出表示出点，的坐标，得出，，最后判断出，判断出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，，且在第一象限，
，，的坐标为；
过点的反比例函数的图象与边交于点，
，两点坐标分别为，，
，，
；
小问2详解】
解：，两点坐标分别为，，
，
，
，
∴当时，有最大值，最大值是6；
【小问3详解】
证明：如图，设过点的双曲线的解析式为，
矩形的顶点，，
，
，
双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
设，，
点，在反比例函数上，
∴，，
直线的解析式为，
点在射线上，
，
，
，
过点作于，
，
四边形是矩形，
，
∴，
，
，
同理，直线的解析式为，
设，
，
过点作于，
，
同理，，
，
，
，
，
，
∴．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定与性质，求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式求出是解题关键．
一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
【详解】解：
．
故答案为：.
20. 如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，可得，再由，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．
21. 抛物线与x轴交于、两点，则_____．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查是抛物线与x轴的交点问题，熟知一元二次方程的根与系数的关系及完全平方公式是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式变形后代入计算即可．
【详解】解：抛物线与x轴交于、两点，
∴，，
∴
．
故答案为：2024．
22. 如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 _____．
【答案】或
【解析】
【分析】分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据题意知，，设，则，根据，可求出点D、E、F的坐标，根据待定系数法求出设直线、的解析式，即可求出点P的坐标．
详解】解∶∵、，
∴，，
①当点P在第三象限时，
∵将放大为原来的两倍后得到对应的，
∴，，
∵点D、F恰好在双曲线上，
设，则，
∴，
解得，或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴；
②当点P在第一象限时， P与①中的E重合时，与关于点E位似，位似比为2，
∴，
综上，P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质等知识，求出D、E、F的坐标是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
23. 在中，，．点为上的动点，交于点，点为的中点，则的最小值为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，含角的直角三角形的性质的综合应用．以的垂直平分线为y轴，以为x轴建立坐标系，设，则点的横坐标为，求得，，利用两点之间的距离公式建立二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，在中，，，
∴，，
以的垂直平分线为y轴，以为x轴建立坐标系，则，，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
作轴于点，设，则点的横坐标为，纵坐标为，即，，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴
，
∵，
∴有最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为100元，每桶水的进价是2元，规定销售单价不得高于5元/桶，也不得低于3元/桶，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．
（1）求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利620元，那么销售单价应是多少元？
【答案】（1）；
（2）销售单价应是4元．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用．
（1）直接运用待定系数法就可以求出日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系式；
（2）由（1）的解析式，根据销售利润销售数量每桶利润固定成本就可以求出结论．
【小问1详解】
解：设日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系为，根据题意得：
，
解得：，
日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系为；
【小问2详解】
解：根据题意得一元二次方程
，
解得，（不合题意舍去），
销售单价应是4元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C．
（1）如图1，连接，直接写出的值；
（2）如图2，连接．点在抛物线上，连接，若异于点G的点H也在抛物线上，且，求点H的坐标；
（3）如图3，若直线与抛物线交于点P、Q，连接交y轴正半轴于点M，连接交y轴负半轴于点N，若，求的值．
【答案】（1）
（2）或或
（3）3
【解析】
【分析】（1）先求出点C，A的坐标，可得，再由，即可求解；
（2）先求出直线解析式为，过点G作直线交y轴于点K，交抛物线于点，y轴上取点D，使，过点D作直线h，直线h和k和抛物线的交点H，，即为所求，此时，再求出直线k和h的解析式，然后联立，即可求解；
（3）过点P作轴于点S，作轴于点T，联立和可得，从而得到，，同理：，再由，，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点C的坐标为，
令，则，
解得：，
∴点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴点，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点G作直线交y轴于点K，交抛物线于点，y轴上取点D，使，过点D作直线h，直线h和k和抛物线的交点H，，即为所求，此时，

可设直线k的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线k的解析式为，
当时，，
∴点，
联立直线k和抛物线的表达式得：
，解得：或1（舍去），
∴点；
∵点，，
∴，
∴点，
同理直线h的解析式为，
联立直线h和抛物线的表达式得：
，
解得：，
∴点；
综上所述，点H的坐标为或或；
【小问3详解】
解：过点P作轴于点S，作轴于点T，

设，
联立和得：
，
整理得：，
∴，
∴，
同理：，
∵，，
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，根与系数的关系等，解题的关键的是掌握相关知识．
26. 如图，具有共同顶点A，且．

（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，已知．连接，若，求的最大值；
（3）如图3，已知，点C在上．若，连接，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据，可得，从而得到，，即可求证；
（2）连接，根据勾股定理求出，根据，可得，从而得到，即可求解；
（3）延长至点F，是，连接，作直线，证明，可得，从而得到，，可证得，进而得到，可得到点B在经过点F且与垂直的直线上运动，作于点H，则，再由直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最大值为；
【小问3详解】
解：如图，延长至点F，是，连接，作直线，

∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B在经过点F且与垂直的直线上运动，
作于点H，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴的最小值为6
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．