2024-2025学年河南省开封市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省开封市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在数列中，，则（ ）
A．B．C．16D．32
2．已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
3．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知数列中，，则数列前2024项的和为（ ）
A．0B．1012C．2024D．4048
6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ）
A．3天B．4天C．5天D．6天
7．记曲线围成的平面图形的面积为，曲线围成的平面图形的面积为，则（ ）
A．B．C．16D．
8．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列数列中，为递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方体中，为底面的中心，分别为的中点，点满足，则（ ）
A．平面B．平面
C．D．四点共面
11．已知为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，记点的轨迹为曲线，设在曲线上，且，则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线的离心率为
C．经过且与曲线只有一个公共点的直线恰有两条
D．四边形面积的最小值为8
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，若三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，则两点之间的距离等于 ．
13．若数列满足，且为其前项和，则的最小值为 .
14．已知抛物线为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是数列的前项和，若是等差数列，．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
16．如图，在三棱台中，平面是边长为2的正三角形，．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
17．已知椭圆的离心率为，左焦点为是上任意一点，且的最大值为3．
(1)求的方程；
(2)设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于两点，求证：直线的斜率之和为，
18．设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于两点．
①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值；
②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点．
19．对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中为非零常数，则称数列是数列.
(1)判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数的值；若不是，请说明理由；
(2)若是数列，且，
①记的前项和为，求证：；
②对任意的正整数，设，求数列的前项和.
答案
1．【正确答案】D
【详解】，则，
则是公比为2的等比数列，
∴，
故选：D．
2．【正确答案】A
【详解】由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，解得；
由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得，
设直线的倾斜角为，斜率为，
由，则，
由，则，解得.
故选：A.
3．【正确答案】C
【详解】依题意，设抛物线方程为，
将代入得，则，
所以所求抛物线方程为.
故选：C.
4．【正确答案】B
【详解】是等差数列，则，，
要使得最大，则，
此时，当且仅当时取等号，
故选：B．
5．【正确答案】C
【详解】由题意可得，，，，，…
则可得下表：
易知数列存在周期性，最小正周期为，
由，则.
故选：C.
6．【正确答案】A
【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半，
所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，
则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，
由题意得，即，则，
令，则，，解得，即，
又，，所以需要经过的时间最少为3天.
故选.
7．【正确答案】D
【详解】对于曲线，
当，时，曲线；
当，时，曲线；
当，时，曲线；
当，时，曲线；
因为，所以，不同时为0，
画出曲线的大致图象，如图，
则曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为，故A正确；
对于曲线，
当，时，曲线；
当，时，曲线；
当，时，曲线；
当，时，曲线；
则曲线围成的面积为上图虚线围成的边长为的正方形，
故面积为，
所以.
故选：D.
8．【正确答案】B
【详解】因为抛物线的准线为，所以，
因为直线l交E于两点，所以直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，
所以，即，，，
因为，所以，得，
联立，解得或，
所以，满足.
故选：B.
9．【正确答案】AD
【详解】对于A.，所以，
所以为递增数列，故A正确；
对于B，，所以为递减数列，故B错误；
对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】ABD
【详解】以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
不妨设正方体棱长为2，则,,，
则，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
因为，且平面，所以平面，故A正确；
因为，平面，所以平面，故B正确；
因为，，，，
所以，故C错误；
因为，
所以，即，
所以，，所以，
所以，所以四点共面，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】AC
【详解】对于A，圆：的圆心为，半径，
因为线段的垂直平分线交直线于点M，则，
所以，
所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，，
所以，所以曲线H的方程为，故A正确；
对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，经过且与曲线H相切的直线是，符合题意；
当直线斜率存在时，经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件，
所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；
对于D，因为，，则A，B分别在两支上，
且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，
又，则A在第二象限，B在第一象限，
如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q，
由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为，
联立消去x并整理得，且，
，，，
易得
，
因为，所以，所以，
两条直线AN与BQ间的距离，
所以，
令，，所以，
因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，
当即时，取得最小值为12，故D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】三棱柱的所有棱长都是，
，
，
则
，
所以两点之间的距离等于.
故
13．【正确答案】
【详解】令，解得，
所以数列中，只有，为负数，
所以的最小值为或或，
又，，
，，
，，
则，所以的最小值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】圆的标准方程是，则圆心为，半径为，
设，，所以，
.
所以的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由数列是等差数列，即数列为等差数列，则设公差为，
由，则，
由，即，，即，
则，，
由，可得，解得，
所以等差数列的首项为，公差为，可得，即，.
（2）当时，，符合题意；
当时，，
将代入上式，可得也适合，
所以.
16．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接，.
，，则是平行四边形，
故，结合平面，则平面；
而平面，故，
是等边三角形的中线，.
和在平面内，且，所以平面；
平面，故.
（2）中已证，平面，且，故，与两两垂直，
可分别以，和为轴，轴，轴正向，建立空间直角坐标系：
，，,，，，；
设平面的一个法向量为，则，即令，可求得.
根据线面角的定义，所求角的正弦值即为与所成角的余弦值的绝对值，
，将坐标代入计算得：，，，
.
故与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由题意．解得，则，
所以椭圆方程为；
（2）设，又，
由得，
则，，
所以
.
18．【正确答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由抛物线，则，准线方程为，
由为上三个不同的点，设，
则，
由，则，
由，
且，则，
所以，解得，故椭圆的方程为.
（2）①由题意作图如下：
由，整理可得，则圆心为F1,0，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则，
将代入圆，解得，则，
所以，此时；
当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设
联立可得，消去整理可得，
，，
易知，，
所以，
由，则，当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，的最小值为.
②证明：由题意可作图如下：
由题意可知直线的斜率存在且不为零，可设该直线方程为，
由①可得，设，则，
由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为，
联立，消去整理可得，
，
设，则，
设，且线段的中点分别为，
则，，
，，
当时，直线斜率存在，直线的斜率，
可得方程为，则，
整理可得，
令，解得，所以直线过定点.
当时，直线斜率不存在，易知，
直线DE的方程为，此时直线过；
综上所述，所以直线过定点.
19．【正确答案】(1)是数列，；不是数列
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）对于无穷数列，
有，
所以是数列，相应的常数；
对于无穷数列，
有，
，
即，
所以不是数列.
（2）①因为是数列，且，
所以，又，
所以是首项和公差都为的等差数列，
故，则，
故，，
从而
，
因为，所以，则，
所以，即；
②当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以，
而，
则，
两式相减，得，
，
所以，
因此.
所以数列的前2n项和为.