2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期末数学检测试题2（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期末数学检测试题2（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则 “” 是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则（ ）
A．B．
C．D．
7．定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若的最小值为0，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．的最小值是2D．
10．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．点是函数的一个对称中心
C．在上为增函数D．方程仅有6个实数根
11．已知函数，下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若，其中，则
C．若的值域为R，则
D．若，则
12．已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有两个相异实根
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ．
14．函数的最小正周期是 ．
15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
16．已知函数在区间上单调，且满足 ；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知关于的不等式.
（1）该不等式的解集为，求；
（2）若，求此不等式的解集.
18．（1）计算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化简：．
19．已知函数．
(1)求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；
(2)当时，求的最值．
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
20．某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）
(1)分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；
(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
21．已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且时，，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集.
22．已知函数（k为常数，），且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
先化简集合的元素再求.
【详解】由，所以
故选：C
2．【正确答案】D
由原命题为假命题可知其否定，使得成立是真命题，转化为对于有解，分离可得，即可求解.
【详解】若命题“，”是假命题，
所以，使得成立是真命题，
即对于有解，
所以，所以，
因为，所以，，
所以，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：D
3．【正确答案】D
【详解】由，得，
由，得，
所以
故选：D
4．【正确答案】A
【详解】当时，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故充分性成立，
当时，满足，但不满足，故必要性不成立，
故“” 是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．【正确答案】D
【详解】易知是奇函数且单调递增，
故原不等式等价于
即
所以，
所以在任意的上恒成立，故.
故选：D
6．【正确答案】D
【详解】由题意得，而，
由于在上单调递增，
故，即，
由在R上单调递增，则，即有；
由在上单调递增，且，
故，即，
故，
故选：D
7．【正确答案】A
【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，
故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根，
所以x＝1或.
又1∉（﹣1，1）
∴方程在（﹣1，1）上有根，
因为，而当时，，
于是.
故选：A．
8．【正确答案】D
【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
当，即时，，不符题意；
当，即时，由，解得.
综上，.
故选：D
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A项，因，利用不等式的性质可得.故A项正确；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，因，由，当且仅当时等号成立，
但由可得：，显然此方程无实数解，即取不到最小值2，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】BCD
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称，
为偶函数，，即，
关于对称，
由，得：，
，即是周期为的周期函数，
对于A，，A错误；
对于B，，即，
关于点成中心对称，B正确；
对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，C错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，
即有个实数解，D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数，
而在区间上递增，在区间上递减，
根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确；
对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确；
对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数.
① 当时，可以取遍一切正数，符合题意；
②当时，依题意，须使，解得.
综上可知，故C项正确；
对于D项，当时，，，则，，
故，，
由可得：，则，即得：，故D项正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】AC
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，
因为的最小正周期为，
所以，解得，即，
因为为偶函数，
所以，解得，
又因为，
当时，可得，
所以，
.
对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，即，解得，
所以的解集为，故C正确；
对于D，由，得，即，
所以即
所以，解得，
又因为，
所以，
所以方程在上有3个相异实根，故D错误.
故选：AC.
13．【正确答案】
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为.
14．【正确答案】6
【详解】函数的最小正周期为，
显然，即是函数的周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6.
故6
15．【正确答案】
【详解】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故
16．【正确答案】 0
【详解】因为函数在区间上单调，
且满足，而，,
即的一个对称中心为，故；
而，故在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则；
函数在区间上恰有5个零点，则恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，
故，即，
解得，结合，
可得的取值范围为，
故
17．【正确答案】（1）；（2）见解析.
【详解】分析：⑴根据不等式解集，则方程有两根，故计算出的值⑵分类讨论无解和有解时根的大小
详解：（1）由韦达定理有：；
（2） .
①，即时：解集为；
②，即时：解集为；
③，即时：解集为.
点睛：本题主要考查了一元二次不等式，在含有参量的不等式中注意分类讨论，得出不同情况的结果．本题较为基础．
18．【正确答案】（1） ；（2）① ；②；（3） ．
【详解】（1）
．
（2）由题意可得：①
，
即是第三象限角，．
②是第三象限角，，
（3）由
，
原式．
19．【正确答案】(1)对称中心为，对称轴方程为，单调递增区间为
(2)最小值为；最大值为2
(3)
【详解】（1）由题意，得函数，
令，解得，
所以函数的对称中心为；
令，解得，
所以函数的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）当时，，所以，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为2；
（3）由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.
20．【正确答案】(1)，
(2)6.25万元，4.0625万元
【详解】（1）因为A产品的利润与投资额成正比，故设，
将代入，解得：，
故，
因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，
将代入，解得：，解得：，
故；
（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元，
则.
令，可得，
即.
当，即时，y取得最大值4.0625.
答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.
21．【正确答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②.
【详解】（1）取，得，
取，得，
取，，得，
所以是奇函数.
（2）①由及，
可得是偶函数且，
设，则，
由时，得，
所以，
所以在上是减函数.
②由是偶函数且在上是减函数，
可得
或或，
所以不等式的解集为.
22．【正确答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）因为，是偶函数，
因为，
即，
∴；
（2）若方程只有一个解，
即只有一个解，
整理得：，
令得，
令，
因为，所以与同号，
①当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为图像是开口向上的，
且，，，
所以当时方程在区间上只有一个解；
②当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，
且，，
则解得，
所以当时，方程在区间上只有一个解；
综上：当或时，方程只有一个实根.