2024-2025学年北京市房山区高二上学期月考数学检测试卷（12月份）附解析

这是一份2024-2025学年北京市房山区高二上学期月考数学检测试卷（12月份）附解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（4分）双曲线y29−x216=1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±34xB．y＝±43xC．y＝±53xD．y＝±35x
2．（4分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．x+y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+y+1＝0D．x+y﹣1＝0
3．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
4．（4分）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．y2＝8xB．y2＝﹣8x
C．y2＝8x或y2＝﹣8xD．x2＝8y或x2＝﹣8y
5．（4分）“a＝0”是“直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（4分）已知椭圆C：x22+y2=1，直线l：y＝x+3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A．3−32B．2+32C．3+32D．2
8．（4分）古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高PO＝2，底面半径OA＝2，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．3C．3D．2
9．（4分）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(−23，0)，F2(23，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2=π3，若e1=33，则双曲线C2的方程为（ ）
A．x29−y26=1B．x26−y23=1
C．x212−y29=1D．x24−y28=1
10．（4分）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与(x−a)2+(y−b)2相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．若曲线C：(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=22，且点M，N分别在曲线C和圆：x2+（y﹣2）2＝8上，则M，N两点间的最大距离为（ ）
A．52+22B．72+22C．3+22D．4+22
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11．（4分）直线l经过点P(1，3)且与直线3x−y+5=0垂直，则直线l的方程是 ．
12．（4分）已知点（1，2）在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为 ．
13．（4分）双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y=12x，则其离心率为 ．
14．（4分）过点P（﹣1，1）作直线与椭圆x24+y22=1交于A，B两点，若线段AB的中点为P，则直线AB的斜率是 ．
15．（4分）造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是 ．
①轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）；
②若点M位于椭圆C上，且∠F1MF2=π2，则C的离心率为33；
③点M与原点O之间的距离不超过22；
④若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则k≥1或k≤﹣1．
三、解答题（本大题共4小题，每小题0分，共40分，解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程）
16．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为−43的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
17．曲线C：x23+m−y21−m=1(m≠−3且m≠1）
（1）若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
（2）当m＝0，点P在曲线C上，且点P在第一象限，F1（﹣2，0），F2（2，0），PF1⊥PF2，求点P的横坐标．
18．已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆C上一动点，设∠F1PF2＝θ，当θ=2π3时，△F1PF2面积取得最大值3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N（M在B，N之间），问S△OBMS△OBN是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（4分）双曲线y29−x216=1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±34xB．y＝±43xC．y＝±53xD．y＝±35x
【分析】利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案．
解：双曲线y29−x216=1中a＝3且b＝4，双曲线的渐近线方程为y＝±abx，即y＝±34x．
故选：A．
【点评】本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
2．（4分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A．x+y+2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+y+1＝0D．x+y﹣1＝0
【分析】利用两圆的方程，作差即可求得公共弦所在直线方程．
解：由圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，
两式作差得，4x+4y﹣4＝4，即x+y﹣2＝0，
所以两圆的公共弦所在直线方程是x+y﹣2＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了由两圆方程求公共弦所在直线方程问题，是基础题．
3．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由线面平行、面面平行分析线面关系判定B；由线面平行、面面垂直分析线面关系判定C；由直线与直线平行、直线与平面垂直分析线面关系判断D．
解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；
若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，相交时也不一定垂直，故C错误；
若m∥n，m⊥α，由直线与平面垂直的判定可得n⊥α，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4．（4分）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．y2＝8xB．y2＝﹣8x
C．y2＝8x或y2＝﹣8xD．x2＝8y或x2＝﹣8y
【分析】设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0），由焦点与原点之间的距离为2，求出p，可得抛物线的方程；
解：设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0），由题意焦点与原点之间的距离为2，可得 p2=4，p＝8
∴抛物线的方程为y2＝±16x；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的方程的求法，简单性质的应用，属于中档题．
5．（4分）“a＝0”是“直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行问题判断即可．
解：当a＝0时，直线x﹣2ay+1＝0为x+1＝0，直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0为x+1＝0，两直线重合；
当直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行时，a+2a（a﹣1）＝0，
解得a＝0或a=12，而a＝0时，两直线重合，
当a=12时，直线x﹣2ay+1＝0为x﹣y+1＝0，直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0为x﹣y+2＝0，两直线平行，
因此两直线平行时，a=12，
所以“a＝0”是“直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题．
6．（4分）已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可．
解：抛物线y2＝12x的焦点为F（3，0），点P在抛物线上，定点Q（5，2），
因为|PF|等于点P到准线的距离，作PD垂直于准线x＝﹣3于D，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以当PQ垂直于准线时交准线于E，|PQ|+|PF|有最小值，|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|≥|EQ|，最小值为：p2+5＝3+5＝8，
当且仅当P在EQ与抛物线的交点时取得等号．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
7．（4分）已知椭圆C：x22+y2=1，直线l：y＝x+3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A．3−32B．2+32C．3+32D．2
【分析】设椭圆上的点P（2csθ，sinθ），利用点到直线的距离公式和三角函数性质能求出椭圆上的点P到直线l的距离的最大值．
解：椭圆C：x22+y2=1，和直线l：y＝x+3，
设椭圆上的点P（2csθ，sinθ），
∴椭圆上的点P到直线l的距离：
d=|2csθ−sinθ+3|2=3|cs(θ+γ)+3|2，其中tanγ=22，
∴当cs（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：3+32．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离的最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．
8．（4分）古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高PO＝2，底面半径OA＝2，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．3C．3D．2
【分析】先利用三角形的中位线计算|OM|=2，结合对称性判断抛物线以OM为对称轴，焦点在OM上，再以顶点M为坐标原点建立坐标系，设抛物线标准方程y2＝2px（p＞0），根据点在抛物线上求得参数p即得结果．
解：因为M是PB的中点，O是AB的中点，
所以AP∥OM，|OM|=12|AP|=2，
因为截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知，抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上，
以M为坐标原点，OM为x轴，过M点的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线与底面交点为E，则xE=|OM|=2，yE=|OA|=2，
设抛物线为y2＝2px（p＞0），则4=2p×2，解得p=2，
即该抛物线焦点(p2，0)到准线x=−p2的距离为p，即为2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥曲线的形成问题，考查了抛物线的标准方程与性质，属于中档题．
9．（4分）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(−23，0)，F2(23，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2=π3，若e1=33，则双曲线C2的方程为（ ）
A．x29−y26=1B．x26−y23=1
C．x212−y29=1D．x24−y28=1
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n（m＞n），根据椭圆定义以及余弦定理计算可得mn＝32，再由双曲线定义可得a2＝2，即可得双曲线C2的方程．
解：已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(−23，0)，F2(23，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，
不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n（m＞n），
椭圆长半轴长为a1＝2，双曲线实轴长为a2，如下图所示：
根据椭圆定义可知m+n＝2a1，由离心率定义可得e1=|F1F2|m+n=33，
解得m+n＝2a1＝12；
又∠F1PF2=π3，可得cs∠F1PF2=m2+n2−122mn=(m+n)2−2mn−482mn=12，
解得mn＝32；
由易知m−n=(m+n)2−4mn=4=2a2，可得a2＝2；
又c2=23，可得b2=12−4=22，
因此可得双曲线C2的方程为x24−y28=1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何特征，属于中档题．
10．（4分）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与(x−a)2+(y−b)2相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．若曲线C：(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=22，且点M，N分别在曲线C和圆：x2+（y﹣2）2＝8上，则M，N两点间的最大距离为（ ）
A．52+22B．72+22C．3+22D．4+22
【分析】C：(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=22表示M（x，y）到两定点Q（﹣1，0）和P（1，0）的距离之和为22，可得动点轨迹为椭圆：x22+y2=1，M、N两点间的最大距离可以转化为圆心（0，2）到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径．
解：由(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=22，结合两点的距离公式，
可得M（x，y）到两定点Q（﹣1，0）和P（1，0）的距离之和为22，
所以M（x，y）在以点Q（﹣1，0）和P（1，0）为焦点的椭圆上，
设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，
则2a=22，即a=2，又a2﹣b2＝1，所以b2＝1，
所以曲线C，即椭圆的方程为：x22+y2=1，
又因为圆x2+（y﹣2）2＝8的圆心为（0，2），半径为22，
则M，N两点间的最大距离可以转化为圆心（0，2）到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，
点M（x，y）在x22+y2=1，故x2＝2﹣2y2，﹣1≤y≤1，
所以圆心到椭圆上点的距离
d=x2+(y−2)2=2−2y2+y2−4y+4=−y2−4y+6=−(y+2)2+10，
因为t（y）＝﹣（y+2）2+10（﹣1≤y≤1）开口向下，对称轴为y＝﹣2，
所以t（y）在[﹣1，1]上单调递减，故t（y）≤t（﹣1）＝3，则d≤3，
所以M，N两点间的最大距离是3+22．
故选：C．
【点评】本题考查两点的距离公式和椭圆的定义、方程和性质，以及圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11．（4分）直线l经过点P(1，3)且与直线3x−y+5=0垂直，则直线l的方程是 x+3y﹣4＝0 ．
【分析】先根据两直线垂直求出直线l的斜率，再由点斜式方程写出直线l的方程．
解：直线l经过点P(1，3)且与直线3x−y+5=0垂直，
而直线3x−y+5=0的斜率为3，所以直线l的斜率为−33，
所以直线l的方程为：y−3=−33(x−1)，
即x+3y−4=0．
故x+3y−4=0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
12．（4分）已知点（1，2）在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为 y=−18 ．
【分析】利用点在抛物线上求出抛物线的标准方程，进而可求准线方程．
解：由题可得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2，即x2=12y，
所以2p=12，p=14，故准线方程为y=−p2=−18．
故y=−18．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
13．（4分）双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y=12x，则其离心率为 52 ．
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得ba=12，再由离心率公式求双曲线离心率．
解：由双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y=12x，
得ba=12，则双曲线离心率e=ca=1+(ba)2=52．
故52．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题．
14．（4分）过点P（﹣1，1）作直线与椭圆x24+y22=1交于A，B两点，若线段AB的中点为P，则直线AB的斜率是 12 ．
【分析】根据中点坐标公式及点差法求中点弦的斜率即可．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x124+y122=1，x224+y222=1，
两式作差得x12−x224+y12−y222=0，
又x1+x22=−1，y1+y22=1，
可得y1−y2x1−x2=−x1+x22(y1+y2)=12．
故12．
【点评】本题考查椭圆的中点弦，训练了点差法的应用，是基础题．
15．（4分）造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是 ①③④ ．
①轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）；
②若点M位于椭圆C上，且∠F1MF2=π2，则C的离心率为33；
③点M与原点O之间的距离不超过22；
④若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则k≥1或k≤﹣1．
【分析】根据双纽线定义利用|MF1||MF2|＝4求得轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），利用换元法构造方程可得Ω经过整点（0，0）；再由椭圆定义以及余弦定理计算可知当∠F1MF2=π2时，C的离心率为63；由曲线方程可得点M与原点O之间的距离为x2+y2=8(x2−y2)x2+y2≤8(x2+y2)x2+y2=22；联立直线和曲线Ω方程根据交点个数解不等式即可得k≥1或k≤﹣1．
解：对于①，因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，
所以F1（﹣2，0），F2（2，0），
又动点M的轨迹Ω就是一个双纽线，且动点M满足|MF1||MF2|＝4，
设M（x，y），则|MF1||MF2|=(x+2)2+y2⋅(x−2)2+y2=4，
化简（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），即轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2）；
令t＝x2，则（t+y2）2＝8（t﹣y2），整理可得t2+（2y2﹣8）t+y4+8y2＝0，
则Δ＝（2y2﹣8）2﹣4（y4+8y2）≥0，解得﹣1≤y≤1；
当y＝0时，x＝0或x=22或x=−22，
当y2＝1时，x=3或x=−3，故Ω经过整点（0，0），因此轨迹Ω仅经过一个整点，即①正确；
对于②，若点M位于椭圆C上，所以|MF1|+|MF2|＝2a，
则(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=|MF1|2+|MF2|2+8=4a2，
可得|MF1|2+|MF2|2=4a2−8，又∠F1MF2=π2，所以|MF1|2+|MF2|2=4a2−8=|F1F2|2=16；
可得a=6，可得C的离心率为26=63，即②错误；
对于③，当点M与点O重合时，点M与点O之间的距离为0；
当点M与点O不重合时，点M与点O之间的距离为x2+y2=8(x2−y2)x2+y2≤8(x2+y2)x2+y2=22，
则点M与点O之间的距离不超过22，即③正确；
对于④，易知直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点为原点O，
因此除原点外，直线y＝kx与曲线Ω再无公共点，
联立y=kx(x2+y2)2=8(x2−y2)，得（1+k2）2x4＝8（1﹣k2）x2，
因此当x≠0时，方程x2=8(1−k2)(1+k2)2无解，所以8(1−k2)(1+k2)2≤0，
解得k≥1或k≤﹣1，即④正确．
故①③④．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，动点轨迹问题的求解，直线与曲线的综合应用，属中档题．
三、解答题（本大题共4小题，每小题0分，共40分，解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程）
16．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为−43的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
【分析】（Ⅰ）把点（2，﹣3）代入圆的方程，求得m的值，可得圆心坐标及半径长．
（Ⅱ）先求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式，求得结果．
解：（Ⅰ）∵点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上，∴22+（﹣3）2﹣16﹣18+m＝0，解得m＝21．
∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝4，
∴圆心C坐标为（4，﹣3），半径r＝2．
（Ⅱ）．依题意，直线l的方程为y−1=−43(x+1)，即4x+3y+1＝0．
则圆心到直线l的距离为d=|16−9+1|42+32=85，
∴|AB|=24−(85)2=125．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
17．曲线C：x23+m−y21−m=1(m≠−3且m≠1）
（1）若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
（2）当m＝0，点P在曲线C上，且点P在第一象限，F1（﹣2，0），F2（2，0），PF1⊥PF2，求点P的横坐标．
【分析】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出﹣3＜m＜1；
（2）m＝0时，求出C：x23−y2=1，设P（s，t），s＞0，t＞0，根据垂直关系得到方程，结合s23−t2=1，求出s=152，得到答案．
解：（1）因为曲线C：x23+m−y21−m=1表示双曲线，根据双曲线的性质可得（3+m）（1﹣m）＞0，
解得﹣3＜m＜1，
因此m的取值范围是m∈（﹣3，1）；
（2）m＝0时，C：x23−y2=1为双曲线，
设P（s，t），s＞0，t＞0，所以s23−t2=1，
由于PF1⊥PF2，
因此PF1→⋅PF2→=(−2−s，−t)⋅(2−s，−t)=s2−4+t2=s2−4+s23−1=0，
解得s=152，
所以点P的横坐标为152．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
18．已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
【分析】（1）由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；
（2）由（1）用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．
解：（1）因为F为C1的焦点且AB⊥x轴，
可得F（c，0），|AB|=2b2a，
设C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），
因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F（p2，0），|CD|＝2p，
因为|CD|=43|AB|，C1，C2的焦点重合，所以c=p22p=43⋅2b2a，
消去p，可得4c=8b23a，所以3ac＝2b2，
所以3ac＝2a2﹣2c2，
设C1的离心率为e，由e=ca，则2e2+3e﹣2＝0，
解得e=12（﹣2舍去），故C1的离心率为12；
（2）由（1）可得a＝2c，b=3c，p＝2c，
所以C1：x24c2+y23c2=1，C2：y2＝4cx，
联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx﹣12c2＝0，
所以（3x﹣2c）（x+6c）＝0，解得x=23c或x＝﹣6c（舍去），
从而|MF|＝x+p2=23c+c=53c＝5，
解得c＝3，
所以C1和C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2＝12x．
【点评】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆C上一动点，设∠F1PF2＝θ，当θ=2π3时，△F1PF2面积取得最大值3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N（M在B，N之间），问S△OBMS△OBN是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意结合椭圆中a，b，c的关系求解；
（2）利用韦达定理以及三角形的面积关系确定S△OBMS△OBN=x1x2，又根据(x1+x2)2x1x2=13×644+1k2即可求得x1x2的取值范围，即可求解．
解：（1）当点P为椭圆的上顶点或者下顶点时，三角形F1PF2面积取得最大值，
取上顶点为A，所以∠F1AO=12×2π3=π3，
因此tan∠F1AO=cb=3，所以c=3b，
又由于三角形F1PF2面积取得最大值为12×2c×b=bc=3b2=3，
因此b=1，c=3，a=b2+c2=2，
因此C的标准方程为x24+y2=1．
（2）S△OBMS△OBN不存在最值，理由如下，
如果直线l⊥x轴，所以O，B，M，N四点共线，S△OBMS△OBN无意义，
因此直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+2，N（x2，y2），M（x1，y1），
联立直线l方程和椭圆方程可得x24+y2=1y=kx+2，化简得x2+4（kx+2）2＝4，
得（4k2+1）x2+16kx+12＝0，
因此根的判别式Δ＝256k2﹣48（4k2+1）＞0，所以4k2﹣3＞0，解得k2＞34，
根据韦达定理可得x1+x2=−16k4k2+1，x1x2=124k2+1，
由于S△OBMS△OBN=12×|OB|×|x1|12×|OB|×|x2|=|x1x2|，
由于x1x2=124k2+1＞0，因此S△OBMS△OBN=x1x2，
所以(x1+x2)2x1x2=x12+x22+2x1x2x1x2=x1x2+x2x1+2=(−16k4k2+1)2124k2+1=13×64k24k2+1=13×644+1k2，
由于k2＞34，因此0＜1k2＜43，因此4＜4+1k2＜163，
因此x1x2+x2x1+2=13×644+1k2∈(4，163)，因此x1x2+x2x1∈(2，103)，
由于点M在B，N之间，因此x1x2∈(0，1)，设t=x1x2∈(0，1)，
由于f(t)=t+1t在（0，1）单调递减，且f(13)=103，f(1)=2，
因此由x1x2+x2x1=t+1t∈(2，103)可知，t=x1x2∈(13，1)，
因此S△OBMS△OBN=x1x2∈(13，1)，因此S△OBMS△OBN不存在最值．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
C
C
D
D
C