辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷，共16页。试卷主要包含了“”是“”的，设函数，则的最小值为，已知，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

数学
命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷
满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，，则（ ）
A.0 B.2 C.1 D.4
3.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设函数，则的最小值为（ ）
A.780 B.390 C.400 D.200
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志而得名，是平面向量中一个非常优美的结论，它的具体内容是：如图，已知是内的一点，的面积分别为，则.若为的垂心，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.，用表示中的较小者，记为，设函数，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.
B.
C.在上为增函数
D.函数在上有且只有2个零点
10.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A.已知点是直线上三个不同的点，为直线外一点，且，则
B.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C.已知点为三条边的中线的交点，则
D.已知，则在上的投影的坐标为
11.设函数且，则（ ）
A.函数和的图像关于直线对称
B.函数和的图像的交点均在直线上
C.若，方程的根为，方程的根为，则
D.已知，若恒成立，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数的取值范围是__________.
13.设函数，若在上是减函数，则的取值范围为__________.
14.，若定义，则中的元素有__________个.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知公差不为0的等差数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求的最小值.
16.（15分）
已知函数.
（1）当时，若，求的极值点和极值､最值点和最值；
（2）讨论在上的单调性.
17.（15分）
已知函数.
（1）求方程在上的解集；
（2）设函数.
（i）证明：在上有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：
18.（17分）
已知函数.
（1）若在上为增函数，求的取值范围；
（2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求的最大值；
（3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，证明：；
（2）记数列的前项和为.
（i）若，证明：.
（ii）已知函数，若，证明：.
辽宁名校联盟高三10月联考
参考答案及解析
1.C 【解析】因为，所以.故选C项.
2.D 【解析】由题意得，所以.故选D项.
3.B 【解析】若三点共线，则，所以所以，所以，当且仅当时取等号.故选B项.
4.B 【解析】若，则，所以，必要性成立；若，则，所以，充分性不成立.故“”是“”的必要不充分条件.故选B项.
5.C 【解析】因为，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号；以此类推，直到，当且仅当取等号，所以，当且仅当时取等号.故选C项.
6.D 【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选D项.
7.B 【解析】如图，延长交于点，则，延长交于点，则，且，因为，所以，设，则，所以在中，，在中，，因为，所以，即，故.故选B项.
8.A 【解析】因为，所以在上为增函数，所以当时，，所以当1时，成立.同时因为当时，，所以当时，恒成立，即当时，，即.设，则，当且仅当时取等号，所以.故选A项.
二､多选题
9.ABD 【解析】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；因为，所以是的最小值，所以直线是图像的一
条对称轴，所以成立，B项正确；当时，，当时，为减函数，C项错误；由题意知在有两个不等实根，设，由函数的图像，易知与直线有两个不同的交点，D项正确.故选ABD项.
10.ACD 【解析】因为，所以，故A项正确；当时，，此时与的夹角为，不是锐角，故B项错误；易知C项正确；在上的投影的坐标为，故D项正确.故选ACD.
11.AC 【解析】易知A项正确.例如：当时，和的图像有交点和，均不在直线上，故B项错误.因为，所以，得，故，设函数，易知其为增函数，因为，所以，即成立，故C项正确.当时，为增函数.若，则，与矛盾，舍去，所以，若恒成立，则，即，两边取对数可得，即，利用导数可求得的最大值为，所以，所以.同理可得等价于，即，即，所以，所以.综上，的取值范围为，故D项错误.故选AC项.
三､填空题
12. 【解析】因为，所以，则包含0的增区间为，
因为，所以，所以故的取值范围为.
13. 【解析】由题知，即对任意恒成立，所以只需时恒成立即可.因为时，，所以由，得，所以，所以，故的取值范围为
14.14 【解析】因为，，所以，，共14个元素.
四､解答题
15.解：（1）由，得，
因为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
所以，
显然在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以使成立的的最小值为6.
16.解：（1）当，则.
当时，令，得或.
当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减；
当时，，
所以在上单调递增.
所以的极大值点为，极小值点为0；极大值为，
极小值为.
因为，且当时，恒成立，
所以的最大值点为1，最小值点为0；最大值为，最小值为0.
（2）.
若，则，所以在上单调递增.
若，令，得.
若，即，则当时，，
所以在上单调递增.
若，即，则当时，0，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17.（1）解：因为，
所以，
所以或.
当时，，则，
又，所以或；
当时，则，
又，所以，
所以或，
所以或.
所以方程在上的解集为.
（2）（i）证明：
当时，
因为，所以，故，
所以在区间上单调递增，
又，
所以在时有唯一零点.
当时，，
所以，
所以在时没有零点.
综上，在上有且只有一个零点.
（ii）证明：由函数的零点为，
得，且，
所以，
所以，
令，
因为，所以
所以，
又
所以，
所以.
设，则在上为增函数，
所以当时，，
即，故.
18.解：（1）由，
得，
所以，
所以解得.
因为，所以解得，
因为，所以，
所以，
故的取值范围为.
（2）因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
所以，
又是的一个零点，
所以，
即，
所以或
，解得或，
由，可得，
所以，
令，则，
即或
，解得或
所以由小到大依次取值，第七个正数零点是
故在上恰好有6个零点，则的最大值为.
（3）由（2）知，对任意，
存在，使得成立，
则.
当时，，
则，则，
当时，，则，
则，
由，可得
解得，
故的取值范围为.
19.证明：（1）设，
当时，，
所以在上为增函数，
故当时，，
所以当时，.
设，
当时，，
所以在上为增函数，
故当时，，
所以当时，.
故当时，.
因为，当时，，
所以在上为增函数.
因为当时，，且由，
得，
所以，即，
所以.
（2）（i）因为，
所以，
，
所以
，
即
所以.
（ii）函数，
因为当时，，
所以当时，，
所以当时，，
因此，
故，即.
因为
所以当时，
，
综上，，所以，
所以，
即.