新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]（含详解），共60页。PPT课件主要包含了题型一，思维升华，n＋1－n－1，题型二，n－1，题型三，倒数为特殊数列，课时精练，故选项AB错误，故选项D正确等内容，欢迎下载使用。

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
例1　(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 024等于A.22 023－1 B.42 023－1C.22 023＋1 D.42 023＋1
形如an＋1＝pan＋f(n)型
命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2 024＝42 023－1.
为______________.
例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式.
命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.
例3　(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为A.an＝(2n＋1)·3n B.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3n D.an＝(n＋1)·2n
命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.
跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于A.n·2n－1 B.n·2nC.(n－1)·2n D.(n＋1)·2n
又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.
(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2 023(S2 023＋2 023)的值为A.22 023－2 B.22 023－1C.2 D.1
S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2，∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2.
令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，
(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝____________.
所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.
例4　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于A.47B.48C.49D.410
相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)
由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*).则数列{an}的通项公式为an＝___________.
方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，
又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，
方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
跟踪训练2　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝______.
f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.
即0<4n－3<37，
因为n为正整数，所以n的最大取值为9.
(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝ (n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是
C.(2n－1)an＝1 D.3a5a17＝a49
则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；
＝22＝4，所以数列 是等比数列，故B对；
所以3a5a17≠a49，故D错.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ ，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________________.
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为A.15 B.23 C.32 D.42
因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.
A.2n－3 B.2n－7C.(2n－3)(2n－7) D.2n－5
所以an＝(2n－3)(2n－7).
3.已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为A.an＝2n－n B.an＝2n＋nC.an＝3n－1 D.an＝3n＋1
由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n.
∴a1－a2＝3a1a2，
解得a1＝1.由题意知an≠0，
A.2n－1B.3n－1C.D.
则数列{lg3an}是以lg3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则lg3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝ .
6.设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于
∵an－1＋an＝2n，
即{an}为递减数列，故选项C正确；
＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n
8.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于A.2 023×22 020 B.2 024×22 021C.2 023×22 021 D.2 024×22 022
记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，
∴an＝(n＋1)×2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2 023行，∴M＝a2 023＝2 024×22 021.
10.已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝_____.
由an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)可得an＋1－an＝2(an－an－1)，若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，
即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝a2·2n－1，所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝124，所以a2＝4.
11.在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n，则an＝_____________.
∵an＋1＝3an＋2n①，∴an＝3an－1＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝3(an－an－1)＋2，令bn＝an＋1－an，则bn＝3bn－1＋2(n≥2)，利用求an＋1＝pan＋q的方法知，bn＝5·3n－1－1，即an＋1－an＝5·3n－1－1②，
∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，