人教版（2024）九年级下册28.1 锐角三角函数复习练习题

这是一份人教版（2024）九年级下册28.1 锐角三角函数复习练习题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算sin30°·cs60°的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．计算：（）﹣1+tan30°•sin60°=（ ）
A．﹣B．2C．D．
3．计算2cs 30°的值为 （ ）
A．1B．C．D．
4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
5．如图，菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，若csA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）

A．米B．米C．米D．米
10．利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，已知是的直径，内接于，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
12．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2的图象上，则a的值为（ )
A．−23B．C．D．
二、填空题
13．在中，若与互为相反数，则 .
14．在 中，，，，则 ， ， ．
15．如图，在中，，是的角平分线，过点D作的垂线交的延长线于点E，过点E作的平行线交的延长线于点F，若，，则线段的长 ．
16．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，AE＝CE，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝ ．
17．如图，在中，，若，连接交于点，则的值为 ．
三、解答题
18．计算：
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.
（1）在图①中画一条射线，使.
（2）在图②中画一条射线，使.
20．（1）计算：
（2）解方程：．
21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
(1)求点及点的坐标；
(2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．【问题提出】
（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】
（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】
（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
23．如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若的直径为9，．
①求线段的长；
②求线段的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E，P为CB延长线上一点，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．
（1）求证：PA与⊙O相切；
（2）求sin∠BAP的值；
（3）求AD•AE的值．
《28.1锐角三角函数》参考答案
1．A
【详解】.
故本题应选A.
2．C
【分析】按顺序进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】（）﹣1+tan30°•sin60°
=2+
=2+
=，
故选C．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
3．B
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案．
【详解】解:2cs30°,
=2×,
=．
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．B
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．
5．D
【分析】根据勾股定理求得菱形的边长，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出DE的长度，根据三角函数的定义可求出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，，
∴，
由勾股定理得到：，
又∵，
∴．
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键．
6．A
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
，，
∴，
故选A．
7．D
【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出三角形的形状．
解：∵csA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=75°，
则这个三角形一定是锐角三角形．
故选D．
考点：特殊角的三角函数值．
8．A
【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长为5，再求得小正方形边长为1，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案．
【详解】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴大正方形边长为5，小正方形边长为1，
∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为，
∴在一个直角三角形中应用勾股定理：，
解得：，
∴长直角边长为，
∴，
故选：A．
9．D
【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
【详解】解：在中，，，
∴米，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．A
【分析】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：

故选：A．
11．B
【分析】根据圆周角定理得到，从而，在中，根据正切函数定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
，
，
在中，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆中求三角函数值问题，理解三角函数定义，数形结合是解决问题的关键．
12．D
【分析】连接BO，过B点作x轴的垂线，交点为E.由题干条件可知∠EOB=30°，运用勾股定理计算出BO长度后，由30°角三角函数可确定B点坐标，代入二次函数解析式求解即可.
【详解】连接BO，过B点作x轴的垂线，交点为E.
∵ABCO为正方形，
∴BO=2，∠BOE=45°-∠COE=45°-15°=30°，
∴OE=cs30°BO=，BE=sin30°BO=，
∴B（，），
∴，
解得a=，故选择D.
【点睛】本题综合考查了正方形、二次函数以及特殊角的三角函数.
13．/105度
【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
14． /0.5 3
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质和三角函数进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴，，
∴，
故答案为：；；3．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．
【分析】根据，设，则，过点D作于点N,延长交于点M，结合，证明,得到，结合，计算即可，本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】延长交于点M，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∴，
过点D作于点N,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故,
故答案为：．
16．
【分析】由BC＝AC＝DC知A、B、D在以C为圆心的圆上，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF，由圆周角定理知∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得＝、＝，从而由tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB＝＝＝＝可得答案．
【详解】解：∵BC＝AC＝DC，
∴点A、B、D在以C为圆心的圆上，
如图所示，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF、
则∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，
∵∠AEB＝∠DEF、∠AED＝∠BEF，
∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，
∴、，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB
＝
＝
＝
＝，
设AE＝CE＝x，则AC＝CF＝2x，
∴AF＝4x，
∴EF＝AF﹣AE＝3x，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，根据圆周角定理证得两对三角形相似是解题的关键．
17．
【分析】过作，过作，如图所示，先证明，得到，从而判定四边形是平行四边形，进而，得到，在中，；在中，；在中，，即可得到．
【详解】解：过作，过作，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，则，解得，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，，，则，
在中，，，则，
在中，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键．
18．-5
【详解】试题分析：根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．
试题解析：原式=4﹣2×+1﹣9，
=﹣5．
考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、特殊角的三角函数值
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC；
（2）∠ABD是直角，需要保证BD=即可.
【详解】解：（1）如图所示.
（2）如图所示.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，能够找到合适的直角三角形进行转换是解题的关键.
20．（1）；（2），
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
（1）先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
，，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
21．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点．
（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可．
（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，即．
（2）在中，由勾股定理得：
，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：
∴直线的函数解析式为，
∵，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴点F关于y轴的对称点为，
∵反比例函数经过点，
∴．
（3）设直线的解析式为，
将点的坐标代入得，
，解得：
∴直线的解析式为
∵点P在直线上，
∴设点，
∴
下面分三种情况讨论：
①当时,
解得：，
∴
∴点P的坐标为；
②当时,
解得：，
∴,此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当时,
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或或．
22．（1）5（2）见解析（3）390米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到即可；
（2）根据证明，进而解答即可；
（3）连接，过点D作于，根据米，求出米，米，证明，可得，在上截取米，连接，可得四边形是平行四边形，，则，根据，可得的最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，A、D在上，B、C在上，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
故答案为：5；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点D作于H，
∵，
∴，
设，则，
∵米，，
∴，
解得（负值舍去），
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上截取米，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为的长，
∵（米），
∴（米），
∴这两条水管的长度之和的最小值为390米．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）连接，由是的切线，可得，可证，可得．由，可得即可；
（2）①连接，由的直径为9，，可求．可证，由，．
②由（1）可知，可证∽，由性质可得， 解方程得．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）①连接，
∵的直径为9，
∴，
在中，
∵，
∴．
又∵，且，
∴，
在中，
∵，
∴．
②由（1）可知，
∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，
∴∽，
∴，即，
解得．
经检验符合题意．
【点睛】本题考查圆的切线性质，平行线性质，等腰三角形判定与性质，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，利用相似的性质构造方程是解题关键．
24．（1）详见解析；（2）；（3）90.
【分析】（1）连接OA，由三角形的外角性质和角平分线得出∠PAB＝∠C，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠C＝∠PAB，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，证出∠OAP＝90°，即AP⊥OA，即可得出PA与⊙O相切；
（2）证明△PAB∽△PCA，得出 得出，即可得出结果；
（3）连接CE，由切割线定理求出PC＝20，得出BC＝PC﹣PB＝15，求出，再证明△ACE∽△ADB，得出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接OA，如图1所示：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP，
∴∠PAB＝∠C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠PAB，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°，
∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°，
∴AP⊥OA，
∴PA与⊙O相切；
（2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C，
∴△PAB∽△PCA，
∴
∵∠CAB＝90°，
∴
∴sin∠BAP＝sin∠C＝；
（3）解：连接CE，如图2所示：
∵PA与⊙O相切，
∴PA2＝PB×PC，即102＝5×PC，
∴PC＝20，
∴BC＝PC﹣PB＝15，
∵
∴，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠E＝∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、切割线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
D
A
D
A
D
A
题号
11
12








答案
B
D